GE5 - SUPERFICI DI RIEMANN 1 Esame scritto

11 Giugno 2002

COGNOME e NOME :

Problema 1. Dimostrate o confutate le seguenti affermazioni:

(I) Se due superfici topologiche compatte sono omeomorfe, allora hanno la stessa caratteristica topologica.

(II) Se due superfici topologiche compatte hanno la stessa caratteristica topologica, allora sono omeomorfe.

(III) Se due superfici analitiche compatte hanno la stessa caratteristica topologica, allora sono omeomorfe.

Problema 2. Si calcoli la caratteristica topologica di (I) Un cubo (II) La somma connessa di un piano proiettivo reale con un cubo (III) La somma connesa di un toro con un piano proiettivo reale Problema 3. 3.a. Siano ω_{1} e ω_{2} due vettori in ℂ, linearmente indipendenti su ℝ e sia R ⊂ ℂ il reticolo da essi generato, ovvero

R := {n_{1}ω_{1} + n_{2}ω_{2}, n_{i} ∈ ℤ}.

Si consideri il toro corrisponente T := ℂ/R, che è in tal modo dotato di una naturale struttura di gruppo commutativo. Siano p ∈ T un punto arbitrario, n un intero maggiore di 1 e sia T_{n}(p) ⊂ T il sottoinsieme definito come segue:

T_{n}(p) := {x ∈ T : nx = p}

Si dimostri che T_{n}(p) è un insieme

(i) non vuoto, (ii) finito, e (iii) si calcoli la sua cardinalità.

3.b. Si dimostri che, per ogni intero d, esiste un’applicazione analitica di T in T, non costante e non ramificata, di grado maggiore di d.

Problema 4. Si consideri la sfera di Riemann: ℙ^{1}. Si descriva

(a) l’insieme di tutte le funzioni olomorfe su ℙ^{1};

(b) l’insieme di tutte le funzioni meromorfe su ℙ^{1};

(c) l’insieme di tutte le applicazioni analitiche F : ℙ^{1} ⟶ ℙ^{1}, con F non costante, non ramificata, di grado almeno 2.

Problema 5 Si calcolino gli eventuali punti singolari delle curve piane affini date dai polinomi:

(a) y^{2} − (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)

(b) 3y^{5} + 3x^{5} + 3 Per entrambe le curve affini suddette, si consideri la chiusura proiettiva, si dica se questa è

una superficie di Riemann compatta; in caso affermativo, se ne calcoli il genere.