GE5 - SUPERFICI DI RIEMANN 1 Esame scritto

2 Luglio 2002

COGNOME e NOME :

Problema 1. 1.a. Si dia la definizione di varietà topologica e si enunci il teorema di classificazione delle superfici topologiche.

1.b. Si diano due rappresentazioni distinte del toro come quoziente di un poligono regolare: la prima come quoziente di un quadrato, la seconda come quoziente di un poligono con un numero di lati diverso da 4.

Problema 2. 2.a. Sia S una superficie topologica compatta con una triangolazione T assegnata. Sia v il numero dei vertici di T , ℓ il numero di lati di T e f il numero di triangoli in T . Che relazione numerica c’è tra ℓ e f?

2.b. Si definisca la caratteristica topologica di una superficie. Si dia un esempio di superficie (topologica) per la quale non è possibile definire tale caratteristica topologica.

Problema 3. 3.a. Si dia la definizione di superficie analitica e si dimostri che una superficie analitica connessa è orientabile.

3.b. Si dimostri che (I) su una superficie topologica compatta e connessa, avente caratteristica topologica uguale a −6, si può definire una struttura analitica.

e (II) su una superficie topologica compatta e connessa di caratteristica topologica uguale a +6 non è definibile una struttura analtica.

Problema 4. Si enunci il Teorema di Bézout e lo si dimostri nel caso particolare dell’intersezione di una retta con una curva di grado qualsiasi.

Problema 5 Si trovino i punti singolari della curva piana affine X data dal polinomo

y^{2} − x(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).

Si consideri la chiusura proiettiva di X e si stabilisca se questa è una superficie di Riemann compatta.