Geometria Algebrica 1

A.A. 2007-2008

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Docente: LUCIA CAPORASO - Ufficio: 108

Tel: 06 5488 8040 - E-mail: caporaso[nospam]@mat.uniroma3.it

Prerequisitii: Topologia generale. Algebra di base (Anelli, campi, anelli Noetheriani con particolare riguardo ad anelli di polinomi).

Programma in breve:

  • Varietà algebriche in spazi affini e proiettivi, loro morfismi.
  • Geometria locale, normalizzazione.
  • Divisori, sistemi lineari e morfismi di varietà proiettive.

    Testi consigliati:

  • R. Hartshorne Algebraic geometry Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
  • I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
  • J. Harris Algebraic geometry (a first course) Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.

    Orario: Mercoledi e Venerdi 11-13. Aula 100. Prima lezione: 21 Settembre ore 11 aula 100

    Seminari degli studenti: orario 11-13- aula 311

    (1) 6/2/08: Nocco, De Santis - (2) 8/2/08: Finocchiaro, Brannetti - (3) 13/2/08: Carciola, Latini - (2) 15/2/08: Spensieri, Dennetta

    Diario giornaliero delle lezioni:

    Lezione del 21/9: Spazi affini. Topologia di Zariski su spazi affini. Chiusi nella retta e nel piano affine

    Lezione del 26/9: Corrispondenza chiusi affini e ideali radicali (Hilbert Nullstellensatz). Chiusi irriducibili.

    Lezione del 28/9: Funzioni e applicazioni regolari.

    Lezione del 3/10: Dimensione. Prodotti. Aperti principali. Applicazioni. Esercizi: 2.1.10, 2.3.7, 2.4.10, 2.4.15, 2.5.9.

    Lezione del 5/10: Varietà proiettive e quasiproiettive.

    Lezione del 10/10: Ipersuperfici. Quadriche proiettive. Funzioni razionali di varietà quasiproiettive.

    Lezione del 12/10: Applicazioni razionali e regolari tra varietà quasiproiettive.

    Lezione del 17/10:Varietà affini e non affini. Dimensione di varietà quasiproiettive.

    Lezione del 19/10: Morfismi genericamente finiti. Insiemi costruibili. Esercizi: 3.2.6, 3.3.2, 3.9.4.

    Lezione del 24/10: Equivalenza birazionale e ipersuperfici. Curve razionali normali. Esercizi: 3.10.8, 3.10.9

    Lezione del 26/10: Varietà di Veronese e di Segre. Prodotti.

    Lezione del 31/10: Proiezioni e loro proprietà. Esercizi: 2.1.13, 2.1.14, 4.2.3

    Lezione del 14/11: Risultante di due polinomi. Invarianza della chiusura proiettiva. Intersezioni di chiusi in spazi proiettivi.

    Lezione del 16/11: Dimensione delle fibre di un morfismo. Scoppiamento di uno spazio affine in un punto. Esercizi: 4.4.7, 4.5.6, 4.5.7

    Lezione del 21/11: Anello locale di una varietà in un punto. Definizioni di spazio cotangente e spazio tangente di Zariski.

    Lezione del 23/11: Proprietà funtoriali dello spazio tangente. Punti singolari di varietà e loro distribuzione. Esempi. Esercizi: 5.1.6, 5.4.6, 5.4.7, 5.4.8

    Lezione del 28/11: Geometria locale di varietà non singolarri. Parametri locali. Esempi.

    Lezione del 30/11: Teorema di Bertini. Chiusi localmente principali in varietà fattoriali. Esercizi: 5.5.6, 5.8.6

    Lezione del 5/12: Applicazioni razionali di varietà localmente fattoriali. Esempi di curve non razionali. Varietà normali e normalizzazione.

    Lezione del 7/12: Divisori di Weil. Divisori principali e equivalenza lineare di divisori. Esercizi: 5.9.5, 5.11.11, 5.11.12

    Lezione del 12/12: Gruppo di Picard di spazi affini e proiettivi. Gruppo di Picard di varietà affini fattoriali. Esempi.

    Lezione del 14/12: Metodi per il calcolo di gruppi di Picard. Esempi.

    Lezione del 19/12: Divisori su curve, grado di divisori e grado di morfismi. Caratterizzazione di curve razionali. Esempi di curve piane singolari razionali. Definizione di sistema lineare completo associato ad un divisore. Esempi.

    Lezione del 21/12: Sistemi lineari e morfismi proiettivi.