Geometria Algebrica 1

A.A. 2008-2009

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Docente: LUCIA CAPORASO - Ufficio: 108

Tel: 06 5733 8040 - E-mail: caporaso[nospam]@mat.uniroma3.it

Prerequisiti: Topologia generale. Algebra di base (Anelli, campi, anelli Noetheriani con particolare riguardo ad anelli di polinomi).

Programma in breve:

  • Varietà algebriche in spazi affini e proiettivi, loro morfismi.
  • Geometria locale, normalizzazione.
  • Divisori, sistemi lineari e morfismi di varietà proiettive.

    Testi consigliati:

  • R. Hartshorne Algebraic geometry Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
  • I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
  • J. Harris Algebraic geometry (a first course) Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.

    Orario: Mercoledi 11-13 e Venerdi 14-16. Aula 100. Prima lezione: 24 Settembre ore 11 aula 100

    Diario giornaliero delle lezioni:

    24/9: Topologia di Zariski e spazi affini. Descrizione esplicita della retta e del piano affine.

    26/9: Teorema degli zeri di Hilbert. Corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Spazi topologici noetheriani. Chiusi irriducibili, componenti irriducibili. Funzioni regolari su chiusi affini.

    1/10: Applicazioni regolari, isomorfismi. Aperti principali. Esempi.

    3/10: Lemma delle proiezioni aperte. Morfismi finiti. Esercizi: 2.4.14, 2.4.15, 2.5.9

    8/10: Quozienti per azioni lineari di gruppi su spazi affini. Caso dei gruppi finiti. Spazi proiettivi e topologia di Zariski su essi.

    10/10: Varietà quasi proiettive. Applicazioni razionali e regolari. Esempi.

    15/10: Ipersuperfici proiettive. Applicazioni razionali e regolari. Equivalenza birazionale. Aperti principali e chiusi affini.

    17/10: Varietà affini. Dimensione di varietà quasi proiettive. Morfismi genericamente finiti. Esercizi: 3.2.6, 3.3.2, 3.3.3

    22/10: Curve razionali normali. Varietà di Veronese. Caratterizzazioni dell'equivalenza birazionale. Esempi.

    24/10: Caratterizzazione di morfismi genericamente finiti. Insiemi costruibili e teorema di Chevalley. Varietà birazionali a ipersuperfici.

    29/10: Applicazione di Segre e prodotti di varietà quasi proiettive. Topologia di Zariski su prodotti. Proiezioni, proiezioni lineari, fibre di proiezioni.

    29/10: Immagine di varietà proiettive attraverso le prioezioni. Funzioni regolari su varietà proiettive.

    5/11: Invarianza della chiusura proiettiva. Intersezioni di ipersuperfici in spazi proiettivi. Intersezioni complete. Esempi. Esercizi: 3.6.9, 3.10.9, 3.10.10

    12/11: Dimensione di intersezioni di varietà con ipersuperfici. Semicontinuità superiore della dimensione delle fibre di morfismi.

    19/11: Anello locale di una varieà in un punto. Spazio cotangente di Zariski. Esercizi: 4.2.4, 4.4.7, 4.5.7

    21/11 ore 14: Spazio tangente di Zariski, definizione estrinseca e intrinseca. Punti singolari e non singolari. Ipersuperfici.

    26/11 ore 14: Punti singolari e non singolari di varietà. Parametri locali. Successione esatta del differenziale di un morfismo e caratterizzazione di punti non-singolari.

    28/11: Teorema di Bertini. Chiusi principali e localmente principali. Varietà localmente fattorali.

    3/12: Mappe razionali di varietà localmente fattorali. Curve razionali e non razionali. Varietà normali

    5/12: Proprietà di varietà normali. Normalizzazione di varietà affini. Esempi.

    10/12: Divisori di Weil, divisori principali, gruppo delle classi di divisori per varietà nonsngolari in codimensione 1. Calcolo di Cl X per varietà fattoriali e spazi proiettivi.

    12/12: Esempi di gruppo dei delle classi di divisori. Divisori sucurve, grado. Criterio di razionalità per curve. Legge di gruppo su una cubica piana nonsingolare.

    17/12: Divisori di Cartier, gruppo di Picard, confronto con i divisori di Weil. Teorema di Bezout sull'intersezione di curve e ipersuperfici. Sistemi lineari associati a divisori e relazione con le applicazioni razionali in spazi proiettvi.

    19/12: Scoppiamenti (Seminario Tirabassi).