Geometria Algebrica 1

A.A. 2009-2010

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Docente: LUCIA CAPORASO - Ufficio: 108

Tel: 06 5733 8040 - E-mail: caporaso[nospam]@mat.uniroma3.it - Ricevimento: martedi e giovedi 13-14.

Prerequisiti del corso: Topologia generale. Algebra di base (Anelli, campi, anelli Noetheriani con particolare riguardo ad anelli di polinomi).

Programma in breve:

  • Teoria classica delle varietà algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
  • Geometria locale, normalizzazione.
  • Divisori, sistemi lineari e morfismi di varietà proiettive.

    Testi consigliati:

  • R. Hartshorne Algebraic geometry Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
  • I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
  • J. Harris Algebraic geometry (a first course) Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.

    Orario: Martedi e Giovedi 11-13 Aula 100. Prima lezione: 22 Settembre ore 11 aula 100

    Diario giornaliero delle lezioni ed Esercizi assegnati: I numeri degli esercizi si riferiscono alle note del corso consegnate durante le lezioni.

    22/9: Topologia di Zariski e spazi affini. Descrizione esplicita della retta e del piano affine. Teorema degli zeri di Hilbert e corrispondenza tra chiusi e ideali radicali.

    24/9: Spazi irriducibili e decomposizione in componenti irriducibili. Algebra delle funzioni regolari.

  • Esercizi: 2.1.10, 2.1.13, 2.1.14, 2.2.10.

    29/9: Applicazioni regolari tra chiusi affini. Prodotti, proiezioni. Morfismo di Frobenius.

    1/10: Aperti principali. Morfismi finiti. Spazi proiettivi.

  • Esercizi: 2.3.7, 2.4.13, 2.4.14, 2.5.8.

    6/10: Topologia d Zariski su spazi proiettivi. Varietà quasi proiettive e loro funzioni razionali e regolari.

    8/10: Ipersuperfici, classificazione delle quadriche proiettive. Proprietà delle funzioni razionali.

  • Esercizi: 3.2.6, 3.3.2, 3.3.3, 3.3.4.

    13/10: Morfismi e mappe razionali. Varietà affini e proiettive. Dimensione.

    15/10: Proprietà della dimensione. Morfismi genericamente finiti.

    20/10: Varietà birazionali e ipersuperfici. Varietà razionali.

  • Esercizi: 3.10.10, 3.10.11.

    22/10: Risultante di due polinomi. Curve razionali normali.

    27/10: Varietà di Veronese. Immagine di varietà proiettive tramite proiezioni.

    29/10: Prodotti di spazi proiettivi e mappa di Segre. Proiezioni lineari e non lineari, proprietà di finitezza delle proiezioni.

  • Esercizi: 4.4.8, 4.4.9, 4.4.10.

    10/11: Invarianza della chiusura proiettiva. Funzioni su varietà proiettive. Dimensione di intersezion in spazi proiettivi; intersezioni complete.

    12/11: Dimensione di fibre di morfismi: proprietà di semicontinuità . Scoppiamento del piano in un punto.

  • Esercizi: 4.5.5, 4.5.7, 4.6.9.

    17/11: Anello locale in un punto. Spazio cotangente e spazio tangente di Zariski

    19/11: Punti singolari e loro distribuzione.

  • Esercizi:

    26/11 (lezione doppia): Chiusi principali e localmente principali. Varietà normali.

    1/12: Proprietà delle varietà normali. Normalizzazione.

    2/12 (lezione doppia): Divisori di Weil su varietà normali. Divisori principali. Equivalenza lineare tra divisori e gruppo delle classi di divisori. Criterio di annullamento per il gruppo delle classi di varietà affini. Gruppo delle classi di spazi proiettvi.

    9/12 (lezione doppia): Gruppo delle classi di divisori di Weil: esempi. Divisori di Cartier, e gruppo di Picard. Confronto con i divisori di Weil per varietà nonsingolari in codimensione 1. Pull-back di divisori per mappe dominanti. Esempi.

    15/12: Moving lemma e pull-back di classi divisori. Sistemi lineari e mappe razionali.

    17/12: Punti base di sistemi lineari. Divisori su curve: grado, grado di divisori principali, caratterizzazione di curve razionali. Teorema di Bezout.