Geometria Algebrica

ESERCIZI 1. (da risolvere entro Martedi 8 Ottobre

1. Si identifichi puntualmente 𝔸^{2} con A^{1} × A^{1}. Quindi si confronti la topologia di Zariski su 𝔸^{2} con il prodotto delle topologie di Zariski su 𝔸^{1}. Si dimostri che non coincidono e si dica se una è piú forte dell’altra.

2. Sia X uno spazio topologico. Per ciascuna delle affermazioni che seguono, si dica se è vera o falsa, e si dimostri la risposta.

(a) Se X è irriducibile, allora ogni sottoinsieme denso in X è irriducibile.

(b) Se X è irriducibile, allora ogni sottoinsieme aperto e non vuoto di X è irriducibile e denso in X.

(c) Se ogni sottoinsieme aperto, non vuoto di X è denso in X, allora X è irriducibile.

3. Sia C = Z(f) ⊂ A^{2} una curva piana di grado d (ovvero d = deg f) e sia L ⊂ 𝔸^{2} una retta non contenuta in C. Diciamo che L è tangente a C se |L ∩ C| < d .

Sia p un numero primo e sia

f = y − x^{p+1}

(a) Si descriva l’insieme delle rette in 𝔸^{2} passanti per il punto {0, 0} e tangenti a C nel caso in cui la caratteristica del campo di base k è uguale a p.

(b) Si ripeta l’esercizio in (a) nel caso in cui k = ℂ; si confrontino le due risposte.

4. Nello spazio affine 𝔸^{3} si consideri il sottoinsieme chiuso X = Z(f, g) dove f e g sono i polinomi f(x, y) = x^{2} − yz e g(x, y) = xz − x. Si determinino le componenti irriducibili di X.

5. Sia F un campo arbitrario (non necessariamente algebricamente chiuso), e sia A = F [x_{1}, ...., x_{n}] l’algebra dei polinomi in n variabili a coefficienti in F. Si dimostri che la topologia di Zariski è definibile su F^{n} esattamente come nel caso in cui F è algebricamente chiuso. Si denoti

𝔸_{F}^{n}

lo spazio topologico cosí ottenuto, denominato spazio affine sul campo F.

Si considerino due casi particolari:

(a) F = ℝ

(b) F è un campo finito

In entrambi i casi, si studi la topologia di Zariski su 𝔸_{F}^{1} e si dica se 𝔸_{F}^{1} è o meno irriducibile.

6. Si trovi un polinomio a coefficienti reali f(x, y) ∈ ℝ[x, y] che sia irriducibile in ℝ[x, y] e tale che l’insieme dei suoi zeri in 𝔸_{ℝ}^{2} sia riducibile.