Geometria Algebrica

ESERCIZI 2. (da risolvere entro Martedi 22 Ottobre)

1. Sia X ⊂ 𝔸^{n} un chiuso affine. Dimostrare o confutare le due affermazioni (a) e (b) seguenti.

(a) I sottoinsiemi chiusi di X sono in corrispondenza biunivoca con gli ideali radicali di k[X]

(b) I chiusi irriducibli di X sono in corrispondenza biunivoca con gli ideali primi di k[X].

2. Sia ϕ : X ⟶ Y un’applicazione regolare.

(a) Si dimostri che ϕ è continua.

(b) Vero o falso: ϕ è aperta.

3. Sia X l’insieme dato da 2 punti, visto come chiuso affine. Si descriva k[X]. Si ripeta l’esercizio per X dato da un insieme finito di punti.

4. Si consideri l’applicazione regolare ϕ : 𝔸^{1} ⟶ 𝔸^{n} data da ϕ(t) = {t, t^{2}, ...., t^{n}}. Si dimostri che ϕ è un isomorfismo di 𝔸^{1} con la sua immagine in 𝔸^{n}.

5. Sia X ⊂ 𝔸_{{x,y}}^{2} l’iperbole data da X = Z(xy − 1), e sia Y ⊂ 𝔸_{{x,y}}^{2} la parabola Y = Z(y − x^{2}). Si dimostri che X e Y non sono isomorfe. (Suggerimento: la parabola è isomorfa a 𝔸^{1})

6. Nello spazio affine 𝔸^{n} siano dati i punti (tutti distinti) {q_{1}, ...., q_{s}, p_{1}, ...., p_{t}}, dove s e t sono interi positivi arbitrari.

(a) Si dimostri che esiste una funzione regolare f di 𝔸^{n} tale che f(q_{i}) = 0 per ogni i = 1, ...., s e f(p_{j}) ≠ 0 per ogni j = 1, ...., t. (b ) Si dimostri inoltre che la funzione f in (a) può essre determinata in modo che f(p_{j}) = 1 per ogni j = 1, ...., t.

6. Sia R un’algebra finitamente generata su k, e sia G un gruppo che agisce su essa. Si dimostri che l’insieme R^{G} delle funzioni G-invarianti è un’algebra su k.