Geometria Algebrica

ESERCIZI 3. (da risolvere entro Giovedi 31 Ottobre)

Problema 1. Sia Z un chiuso affine e k[Z] la sua algebra delle funzioni regolari. Sia p un punto di Z e sia I(p) ⊂ k[Z] l’ideale di tutte le funzioni regolari che si annullano in p.

(a) Si dimostri che I(p) è un ideale massimale. Viveversa, si dimostri che se I ⊂ k[Z] è un ideale massimale, allora I è radicale ed esiste un punto p ∈ Z tale che I = I(p).

(b) Sia ϕ : X ⟶ Y un’applicazione regolare tra chiusi affini e sia

ϕ^{∗} : k[Y] ⟶ k[X]

il corrispondente morfismo di algebre. Sia q ∈ Y un punto qualsiasi. Si dimostri che la preimmagine di q attraverso ϕ, ϕ^{−1}(q), è l’insieme dei punti p di X il cui ideale I(p) ⊂ k[X] contiene ϕ^{∗}(I(q)) (con la notazione usuale: I(q) è l’ideale di q in k[Y]).

In particolare, si mostri che ϕ è suriettiva se e soltanto se per ogni punto q in Y, l’ideale generato in k[X] da ϕ^{∗}(I(q)) non coincide con tutta k[X].

Problema 2. Sia ϕ : X ⟶ Y un’applicazione regolare di chiusi affini e ϕ^{∗} : k[Y] ⟶ k[X] il corrispondente morfismo di algebre.

(a) Si dimostri che se ϕ^{∗} è suriettiva allora ϕ è iniettiva.

(b) Si dimostri che l’implicazione opposta è falsa.

(c) Si dimostri il seguente miglioramento di (a): se ϕ^{∗} è suriettiva allora ϕ è iniettiva e ϕ(X) è chiuso in Y.

(d) Si dimostri che, anche in questo caso, l’implicazione opposta a (c) è falsa.

Problema 3. Sia G = {1, −1} il gruppo con due elementi, denotato moltiplicativamente. Si faccia agire G su 𝔸^{2} in modo che −1 mandi il punto di coordinate (x, y) nel punto di coordinate (−x, −y) (ovviamente, l’altro elemento di G, +1, agisce come l’identità).

Si dimostri che l’algebra dei polinomi invarianti k[x, y]^{G} è generata su k dai polinomi x^{2}, y^{2} e xy.

Si dimostri quindi che

k[x, y]^{G} ≅ k[Q]

dove Q ⊂ 𝔸_{u,v,w}^{3} è il “cono”, ovvero il chiuso nello spazio affine 𝔸_{u,v,w}^{3} dato da

Q = Z(uv − w^{2}).

Problema 4. Si consideri la curva X ∈ 𝔸^{2} data da: X = Z(y^{2} − x^{2} − x^{3}). Si dimostri che X è razionale.