Geometria Algebrica

ESERCIZI 4. (da risolvere entro Giovedi 14 Novembre)

Problema 1. Si consideri la varietà proiettiva ℙ^{n} (spazio proiettivo) su un campo k algebricamente chiuso.

(a) Si dimostri che ℙ^{n} è irriducibile

(b) Si dimostri che ℙ^{n} è uno spazio topologico Noetheriano

(c) Sia X ⊂ ℙ^{n} una varietà quasiproiettiva. Si dimostri o si confuti l’ affermazione che segue: X si può rappresentare in modo unico (a meno dell’ordine) come unione finita di sottoinsiemi

chiusi irriducibili, non contenuti gli uni negli altri.

Problema 2. Si consideri l’applicazione razionale

γ : ℙ_{x_{0},x_{1},x_{2}}^{2} − − − −− > ℙ_{y_{0},y_{1},y_{2}}^{2}

definita da

γ(x_{0} : x_{1} : x_{2}) = (x_{1}x_{2} : x_{0}x_{2} : x_{0}x_{1})

Si dimostri che γ è birazionale, se ne determini l’inversa γ^{−1} e si descrivano i luoghi in cui γ e γ^{−1} non sono regolari.

Problema 3. In questo problema si dimostra, in tre passi, il seguente fatto notevole:

Teorema. Sia A un’algebra su k contenuta nell’algebra dei polinomi in una variabile:

k ⊂ A ⊂ k[t].

Allora A è un’algebra finitamente generata su k.

Passo 3.1 Sia S ⊂ ℤ_{≥0} un semigruppo contenuto nel semigruppo dei numeri interi non negativi. Dunque S è tale che se n, m ∈ S allora n + m ∈ S. Si dimostri che S è finitamente generato, come semigruppo; ovvero, si dimostri che esiste un insieme finito

{s_{1}, ...., s_{t}} ⊂ S

tale che per ogni elemento n ∈ S vale una relazione

n = ∑_{i=1}^{t} c_{i}s_{i}, c_{i} ∈ ℤ_{≥0}

Passo 3.2 Sia A l’algebra di cui sopra. Si definisca

S_{A} = {n ∈ ℤ : ∃α ∈ A : deg α = n}

dunque S_{A} è l’insieme dei gradi dei polinomi contenuti in A. Si dimostri che S_{A} è un semigruppo contenuto in ℤ_{≥0}.

Passo 3.3 Si utilizzino i due passi precedenti per dimostrare il teorema. (Suggerimento: se S_{A} è generato da {s_{1}, ...., s_{t}}, sia α_{i} ∈ A di grado s_{i} e si dimostri che A è generata su k da {α_{1}, ...., α_{t}})

Osservazione finale: sappiamo che il teorema non vale per sottoalgebre dell’algebra dei polinomi in almeno due variabili. Si trovi il punto della dimostrazione che vale solo per polinomi in una variabile.