Geometria Algebrica

ESERCIZI 5. (da risolvere entro Giovedi 14 Novembre) Problema 1. Si consideri la varietà quasiproiettiva ℙ^{n} × 𝔸^{m} e si dimostri che non è affine (se n ≥ 1) e che non è proiettiva (m ≥ 1). Problema 2.

Sia H ⊂ 𝔸^{2} l’iperbole: H = Z(xy − 1). 2.a. Si consideri il morfismo (ovvero, l’applicazione regolare) ψ

\begin{aligned}ψ : & H & ⟶ & A^{1} \\ & (x, y) & ↦ & x \end{aligned}

e si dimostri che non è finito. 2.b. Si consideri il morfismo ϕ

\begin{aligned}ϕ : & H & ⟶ & A^{1} \\ & (x, y) & ↦ & x − y \end{aligned}

e si dimostri che è finito. Problema 3.

Sia ϕ : X ⟶ Y un’applicazione regolare di varietà affini irriducibili. Si dimostri che l’immagine inversa di un aperto affine principale di Y è un aperto affine principale di X.