Geometria Algebrica

ESERCIZI 6. (da risolvere entro Giovedi 21 Novembre) Problema 1. Sia X una varietà quasiproiettiva

(a) Si dimostri che l’intersezione di aperti affini di X è un aperto affine.

(b) Siano x, y_{1}, ...., y_{m} punti di X. Si dimostri che esiste un aperto affine U ⊂ X tale che x ∈ U e y_{i} ∉ U per ogni i = 1, ...., m. Problema 2. Siano X ed Y due varietà quasiproiettive. Si calcoli la dimensione di

X ∪ Y

e quella di

X × Y

(giustifcando le risposte). Problema 3. Sia X ⊂ 𝔸^{3} il chiuso dato dall’unione dei tre “assi coordinati”. Dunque

X = {(a_{1}, 0, 0)} ∪ {(0, a_{2}, 0)} ∪ {(0, 0, a_{3})} a_{i} ∈ k.

Si calcoli l’ideale I(X) di X e si dimostri che I(X) non può essere generato da due polinomi. Problema 4. Si dia un esempio di varietà proiettiva irriducibile di dimensione 2 che non sia isomorfa a ℙ^{2}.