Geometria Algebrica

ESERCIZI 7. (da risolvere entro Giovedi 5 Dicembre)

Problema 1. Siano X e Y varietà quasiproiettive e siano p ∈ X e q ∈ Y punti su esse. Si dimostri o si confuti ciascuna delle due affermazioni seguenti

(a) Se p e q sono punti non singolari di X e Y (rispettivamente), allora il punto (p, q) è nonsingolare per X × Y.

(b) Se (p, q) è nonsingolare per X × Y, allora p e q sono nonsingolari per X e Y (rispettivamente).

Problema 2.

(a) Sia k un campo algebricamente chiuso di caratteristica 0. Per ogni intero d > 1, si dia un esempio di ipersuperficie non singolare in ℙ^{n} e un esempio di ipersuperficie singolare in ℙ^{n}, con n ≥ 1

(b) Si ripeta (a) per un campo di caratteristica p, dove p è un numero primo.

Problema 3. Sia X ⊂ 𝔸^{3} la curva data dall’unione dei tre “assi coordinati”. Dunque

X = {(a_{1}, 0, 0)} ∪ {(0, a_{2}, 0)} ∪ {(0, 0, a_{3})} a_{i} ∈ k.

Si dimostri che X non è isomorfa ad una curva piana

Problema 4. Sia A un anello commutativo e P un ideale primo di A. Si dimostri che, se A è noetheriano, la localizzazione di A in P, A_{P}, è un anello noetheriano.