Geometria Algebrica

ESERCIZI 8. (da risolvere entro Giovedi 12 Dicembre)

Problema 1. Sia X una varietà affine e sia p ∈ X un punto fissato; sia O_{p} l’anello locale di X in p. Si consideri l’omomorfismo naturale (di localizzazione)

λ : k[U] ⟶ O_{p}

Si dimostri che, se ogni componente irriducibile di X contiene p, allora λ è iniettivo.

Problema 2. Si consideri 𝔸^{1} ed un punto arbitrario a ∈ 𝔸^{1}. Si dimostri che un polinomio p(t) ∈ k[t] è un parametro locale per 𝔸^{1} in a se e soltanto se p(t) ha una radice di molteplicità esattamente uguale a 1 in a.

Problema 3. Sia p un punto nonsingolare di una varietà quasiproiettiva irriducibile X di dimensione n. Siano u_{1}, ...., u_{n} ∈ O_{p} e sia U ⊂ X un intorno di p dove le u_{i} sono tutte regolari. Per ogni i, sia X_{i} = Z(u_{i}) ⊂ U la sottovarietà di codimensione 1 definita da u_{i} nell’intorno U. Si supponga che le X_{i} si intersechino trasversalmente in p, ovvero che

⋂_{i=1}^{n} T_{p}X_{i} = {0}

Si dimostri che {u_{1}, ...., u_{n}} forma un sistema di parametri locali per X in p.

Problema 4. Sia σ : Y ⟶ 𝔸^{2} lo scoppiamento di 𝔸^{2} in O = (0, 0). Sia C ⊂ 𝔸^{2} la curva C = Z(y^{2} − x^{3}), e sia C′ ⊂ Y la sua trasformata propria attraverso σ, ovvero C′ = \overline{σ^{−1}(C \ \{O\})}. Si dimostri che C′ è nonsingolare ed isomorfa ad 𝔸^{1}.

Si consideri il morfismo ottenuto restringendo σ a C′:

σ_{|C′} : C′ ⟶ C

si dimostri che è regolare, birazionale, biunivoco, ma non è un isomorfismo.

Problema 5. Sia σ : Y ⟶ 𝔸^{3} lo scoppiamento di 𝔸^{3} in O = (0, 0, 0). Sia X ⊂ 𝔸^{3} la superficie “cono quadrico” data da X = Z(xy − z^{2}); sia X′ ⊂ Y la sua trasformata propria attraverso σ, ovvero X′ = \overline{σ^{−1}(X \ \{O\})}.

Si dimostri che X′ è non singolare e si descriva la preimmagine di O in X′ attraverso

σ_{|X′} : X′ ⟶ X