Geometria Algebrica

ESERCIZI 9. (da risolvere entro Giovedi 19 Dicembre)

Problema 1.

a) Sia X una curva irriducibile e sia p ∈ X un suo punto non singolare. Si dimostri che lo scoppiamento di X con centro p è naturalmente isomorfo ad X stessa.

b) Si dimostri che lo scoppiamento dello spazio affine 𝔸^{n} avente per centro un iperpiano è naturalmente isomorfo ad 𝔸^{n}.

Problema 2. Sia ϕ : ℙ_{x_{0},x_{1},x_{2}}^{2} − − − − > ℙ^{4} l’applicazione razionale definita da

ϕ(x_{0} : x_{1} : x_{2}) = (x_{0}x_{1} : x_{0}x_{2} : x_{1}^{2} : x_{1}x_{2} : x_{2}^{2})

Si determini il luogo dove ϕ non è regolare.

Sia Y := \overline{ϕ(ℙ^{2})} ⊂ ℙ^{4}, si dimostri che ϕ è invertibile e che la sua inversa

ϕ^{−1} : Y ⟶ ℙ^{2}

è regolare e coincide con lo scoppiamento di ℙ^{2} in punto.

Problema 3. Si consideri l’applicazione birazionale

γ : ℙ_{x_{0},x_{1},x_{2}}^{2} − − − −− > ℙ_{y_{0},y_{1},y_{2}}^{2}

definita da

γ(x_{0} : x_{1} : x_{2}) = (x_{1}x_{2} : x_{0}x_{2} : x_{0}x_{1})

Si determinino tutte le sottovarietà eccezionali di γ.

Problema 4. Sia X una varietà quasiproiettiva. Il prodotto simmetrico di X n volte è definito come l’insieme delle n-uple non-ordinate di punti (non necessariamente distinti) di X, ed è denotato con il simbolo Sym^{n}X.

Si dimostri che se X = 𝔸^{r} è uno spazio affine, r ≥ 1, allora Sym^{n}X è una varietà affine e normale per pgni n.

Si dimostri che, se r = 1, Sym^{n}A^{1} è nonsingolare.

(Suggerimento: per definizione, Sym^{n}X è il quoziente di X^{n} per l’azione di un gruppo finito)