Lezione 1 (27 settembre). Introduzione alle catene di
Markov. Esempio: catena a due stati.
Lezione 2 (2 ottobre). Catene irriducibili, misura
invariante. Tempi di visita.
Lezione 3 (4 ottobre). Esistenza e unicita' della misura
invariante per catene irriducibili. Catene reversibili.
Lezione 4 (9 ottobre). Processo di nascita e morte. Coupon collecting. Urne di
Ehrenfest. Proiezione di catene di Markov (Lumping).
Lezione 5 (11 ottobre). Introduzione al metodo Monte
Carlo. Algoritmi di Metropolis e di Glauber. Esempi: colorazioni di
un grafo, modello di Ising.
Lezione 6 (16 ottobre). Distanza di variazione
totale. Accoppiamento.
Lezione 7 (18 ottobre). Teorema di convergenza per catene di
Markov irriducibili e aperiodiche. Tempo di mixing.
Lezione 8 (25 ottobre). Teorema ergodico per catene di Mrkov
irriducibili. Catene di Markov a tempo continuo.
Lezione 9 (30 ottobre). Semigruppo e generatore
infinitesimale. Esempi di catene di Markov a tempo continuo.
Lezione 10 (6 novembre). Accoppiamento di catene di Markov e
prime stime sul tempo di mixing.
Lezione 11 (8 novembre). Grand coupling. Stima del tempo di
mixing per le colorazioni di un grafo. Tempi stazionari forti.
Lezione 12 (13 novembre). Stima dall'alto e dal basso del tempo di mixing per il top to random
shuffle.
Lezione 13 (15 novembre). Tempo di mixing per Random Transpositions.
Lezione 14 (20 novembre). Analisi spettrale e convergenza
all'equilibrio.
Lezione 15 (22 novembre). Gap spettrale, tempo di
rilassamento. Tempo di mixing vs. tempo di rilassamento. Random Walk
su n-ciclo. Catene prodotto.
Lezione 16 (27 novembre). Stima dall'alto del tempo di mixing in
termini di autovalori. Forma di Dirichlet. Stima dal basso del tempo di
rilassamento in termini di conduttanza.
Lezione 17 (29 novembre). Stima dall'alto del tempo di
rilassamento in termini di conduttanza (Cheeger). Esempio della passeggiata
aleatoria asimmetrica. Passeggiata aleatoria su reticolo
d-dimensionale e perturbazioni.
Lezione 18 (4 dicembre). Gap spettrale e tempo di rilassamento per catene a tempo
continuo. Metodo del confronto e metodo dei cammini. Esempi: passeggiate aletorie simmetriche su grafi e perturbazione locale di grafi.
Lezione 19 (6 dicembre). Gap spettrale per la passeggiata di Bernoulli-Laplace.
Lezione 20 (11 dicembre). Processo di esclusione. Metodo dei cammini per processo di esclusione su reticolo d-dimensionale. Decadimento esponenziale in entropia relativa. Costante di entropia e tempo di mixing.
Lezione 21 (13 dicembre). Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Relazioni tra gap spettrale, costante entropia e costante di log-Sobolev.
Lezione 22 (18 dicembre). Modello di Ising su un
grafo. Mixing rapido ad alta temperatura.
Lezione 23 (20 dicembre). Transizione di fase dinamica
per Ising su grafo completo. Modello di Ising in dimensione 1: mixing rapido per ogni valore della temperatura. Transizione di fase dinamica in dimensione 2.