Lezione 1 (21 febbraio). Prove di Bernoulli, Passeggiata aleatoria e altre successsioni di variabili aleatorie. Catene di
Markov. Esempi.
Lezione 2 (22 febbraio). Matrici stocastiche e probabilita' di
transiszione. Catena di Markov a due stati. Convergenza alla misura
stazionaria. Misura invariante, matrici bi-stocastiche e matrici
simmetriche. Random walk su n-ciclo, simmetrico e asimmetrico.
Lezione 3 (28 febbraio). Catene reversibili. Passeggiate
aleatorie su grafi orientati e non. Catene di Markov irriducibili.
Esistenza e unicita' della misura
invariante per catene irriducibili. Esempi.
Lezione 4 (1 marzo). Tempi di prima visita. Costruzione della
misura invariante. Processo di nascita e morte: misura reversibile e
calcolo di tempi di prima visita.
Lezione 5 (8 marzo). Coupon collecting. Passeggiata
aleatoria su ipercubo. Urne di
Ehrenfest. Proiezione di catene di Markov e lumping.
Lezione 6 (9 marzo). Introduzione al metodo Monte
Carlo. Esempi: colorazioni di
un grafo, modello di Ising. Dinamica di Glauber. Algoritmo di Metropolis.
Lezione 7 (14 marzo). Esempi di algoritmo di Metropolis. Distanza di variazione
totale. Accoppiamento. Esempi.
Lezione 8 (16 marzo). Teorema di convergenza per catene di
Markov irriducibili e aperiodiche. Tempo di mixing.
Lezione 9 (21 marzo). Accoppiamento di catene di Markov e
prime stime sul tempo di mixing per passeggiate aletorie.
Lezione 10 (23 marzo). Tempo di mixing per random walk su
toro d-dimensionale e su ipercubo. Grand coupling. Esempi. Stima del tempo di
mixing per le colorazioni di un grafo.
Lezione 11 (28 marzo).
Tempi stazionari forti. Stima
dall'alto e dal basso del tempo di mixing per top to random
shuffle.
Lezione 12 (29 marzo). Tempo di mixing per Random
Transpositions.
Lezione 13 (12 aprile). Analisi spettrale e convergenza
all'equilibrio. Gap spettrale, tempo di
rilassamento.
Lezione 14 (20 aprile).
Tempo di mixing vs. tempo di
rilassamento. Random Walk su n-ciclo. Catene prodotto. Esempi di stima del tempo di mixing in
termini di autovalori.
Lezione 15 (2 maggio). Forma di Dirichlet e principio
variazionale per il gap spettrale. Conduttanza e disuguaglianza di
Cheeger. Stime dal basso e dall'alto per il tempo di rilassamento.
Esempio della passeggiata
su ipercubo e su n-ciclo.
Lezione 16 (4 maggio). Processo di Poisson. Catene di Markov a
tempo continuo I.
Lezione 17 (9 maggio). Catene di Markov a tempo continuo II.
Q-matrici e generatore infinitesimale.
Lezione 18 (11 maggio)
Gap spettrale e tempo di rilassamento per catene a tempo
continuo. Metodo del confronto e metodo dei cammini.
Stime con metodo dei cammini: passeggiate aletorie simmetriche su grafi e perturbazione locale di
grafi.
Lezione 19 (16 maggio). Processo di esclusione.
Gap spettrale per il processo di
Bernoulli-Laplace.
Lezione 20 (18 maggio). Gap spettrale per il processo di
esclusione su n-ciclo e toro d-dimensionale.
Decadimento esponenziale in entropia relativa. Costante di entropia e tempo di mixing.
Lezione 21 (23 maggio). Disuguaglianze di Sobolev
logaritmiche. Tensorizzazione. Esempi: ipercubo, binomiale. Passaggio
al limite per processo di nascita e morte con distribuzione di poisson.
Lezione 22 (24 maggio). Modello di Ising su un
grafo. Mixing rapido ad alta temperatura. Transizione di fase dinamica
su grafo completo.
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