Lezione 1 (22 settembre).
Introduzione ai processi stocastici. Distribuzioni
finito-dimensionali. Incrementi stazionari e indipendenti. Esempio
del processo di Poisson. Vettori Gaussiani.
Lezione 2 (24 settembre). Continuita' delle traiettroie.
Costruzione del moto Browniano standard (MBS).
Lezione 3 (29 settembre). Prime proprieta' del MBS: Invarianza di scala, inversione
temporale, legge dei grandi numeri. Ponte Browniano. Processo di Ornstein-Uhlenbeck.
Lezione 4 (1 ottobre). Proprieta' di continuita' del
MBS. Comportamento per tempi lunghi e per tempi brevi.
Lezione 5 (6 ottobre). Non-differenziabilita' delle traiettorie. Il MB non ha
variazione limitata. Variazione quadratica.
Lezione 6 (8 ottobre). Proprieta' di Markov per il MB. Tempi di
arresto.
Lezione 7 (13 ottobre). Principio di riflessione. Martingale
associate al browniano. Applicazioni del teorema di optional
stopping.
Lezione 8 (15 ottobre). Altre martingale associate al
browniano.
Lezione 9 (20 ottobre). Moto browniano in piu'
dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet.
Lezione 10 (22 ottobre).
Esempi di soluzione del problema di Dirichlet. Il moto browniano non visita punti in dimensione d>=2.
Ricorrenza in d<=2 e transienza in d>=3.
Regolarita' di un punto al bordo.
Lezione 11 (27 ottobre).
Criterio del cono troncato. Soluzione del problema di Dirichlet
tramite moto browniano per domini regolari. Esempi e esercizi.
Lezione 12 (29 ottobre).
Problema di Poisson e
sua soluzione per domini regolari.
Lezione 13 (5 novembre).
Legge del logaritmo iterato. Skorohod embedding.
Lezione 14 (10 novembre).
Principio di invarianza di Donsker. Applicazioni: leggi arcoseno e legge del massimo
di passeggiate aleatorie.