Prova scritta di AM3 del 14/4/2004 – (I Esonero)

• Per ottenere la sufficienza è necessario (ma non sufficiente) svolgere almeno due tra gli esercizi della Parte I ed almeno uno della Parte II.

• Motivare il lavoro svolto.

• Durante l’esame non è consentito l’uso di appunti, libri, calcolatrici.

Parte I

1) Risolvere il seguente problema di Cauchy:

\{ \begin{matrix}u′′(t) − u(t) = \frac{cosh t}{1 + e^{t}} , \\ u(0) = 0, u′(0) = 1 . \end{matrix}

2) Risolvere il seguente problema di Cauchy:

\{ \begin{matrix}t y′(t) = y(t) + t sinh \frac{y(t)}{t} ,  t > 0 , \\ y(1) = log 3 . \end{matrix}

3) Si calcolino il massimo ed il minimo della funzione

f(x, y, z, t) = xt − yz

sul seguente sottoinsieme di ℝ^{4}

{x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2} ≤ 1}.

4) Si dica se la funzione

f : x ∈ ℝ^{2} ↦ f(x) = (3x_{2} + x_{1}x_{2} , log(1 + x_{1}) + x_{2}^{3})

è invertibile in un intorno dell’origine ed in caso affermativo si determini un intorno di f(0) su cui è definita la funzione inversa.

Parte II

5) Si enunci e si dimostri il teorema di esistenza ed unicità per equazioni differenziali ordinarie.

6) Sia f ∈ C([0, 1], ℝ^{n}) e ∥ · ∥ una qualunque norma in ℝ^{n}. Si dimostri che

∥∫_{{1 \atop 0}}f(t)dt∥ ≤ ∫_{{1 \atop 0}}∥f(t)∥ dt .