Prova scritta di AM3 del 7/6/2004 – (II Esonero)

• Per ottenere la sufficienza è necessario (ma non sufficiente) svolgere almeno due tra gli esercizi della Parte I ed almeno uno della Parte II.

• Motivare il lavoro svolto.

• Durante l’esame non è consentito l’uso di appunti, libri, calcolatrici.

Parte I

1) Sia Γ = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x ∈ [0, 1] , y = x^{2}}. Calcolare

∫_{Γ}(1 + x^{2} + 3y) dℓ .

2) Sia D := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x ≥ 0, y ≥ 0 , 1 ≤ x^{2} + y^{2} ≤ 2} e sia S := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : z = arctan y/x , (x, y) ∈ D}. Si calcoli

∫_{S}x^{2} dσ .

3) (i) Sia S la superficie in ℝ^{3} data da S := {x^{2} +y^{2} +z^{2} ≤ 1}∩{z = y}. Si mostri che S è una superficie elementare con bordo ed orientabile; se ne descriva il bordo; si trovi una normale ν^{+} ad S ed un orientamento su Γ in modo tale che (Γ^{+}, ν^{+}) siano equiorientati (ovvero verifichino la “regola della mano destra”). (ii) Enunciare il teorema di Stokes per superfici in ℝ^{3} con bordo e lo si verifichi esplicitamente nel caso di S e Γ come al punto precedente per il campo vettoriale F := (y + z, z + x, x − y).

4) Si consideri la seguente 1–forma su A = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x > 0, y > 0\}: ω = 5\frac{dx}{x} − \frac{dy}{y}. (i) Dire se ω è chiusa su A. (ii) Sia σ(x, y) il segmento orientato che va da (1, 1) a (x, y) ∈ A. Calcolare

∫_{σ(x,y)}ω .

(iii) Calcolare ∫_{Γ^{+}}ω dove Γ^{+} è una qualunque curva in A che va da (2, 1) a (2^{10}, 1).

Parte II

5) Si enunci e si dia una sintesi della dimostrazione del teorema sul calcolo degli integrali iterati per funzioni continue su insiemi normali in ℝ^{2}.

6) Si dimostri che l’integrale superficiale non dipende dalla parametrizzazione della superficie.