Soluzioni 1-AM3

Laura Di Gregorio 27 febbraio 2004

1. Sostituendo e^{x} = y si ottiene

\frac{1 + 2y}{y(y^{2} − 1)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{y − 1} + \frac{C}{y + 1}

da cui, procedendo come sempre, si ottiene la soluzione

∫ \frac{1 + 2e^{x}}{e^{2x} − 1} dx = −x + \frac{3}{2} ln |e^{x} − 1| − \frac{1}{2} ln |e^{x} + 1|

2. Sostituendo t = tan \frac{x}{2} si ottiene

cos x = \frac{1 − t^{2}}{1 + t^{2}}

e quindi l’integrale diventa

∫ \frac{1 + cos x}{1 − cos x} dx = ∫ \frac{2dt}{t^{2}(1 + t^{2})} = −\frac{2}{t} − 2 arctan t = −\frac{2}{tan \frac{x}{2}} − x

3. Integrando per parti due volte, si ha

∫ x(1 + x^{2})e^{x^{2}} ln x dx = \frac{e^{x^{2}}}{2} (1 + x^{2}) ln x − ∫ \frac{e^{x^{2}}}{2} (2x ln x + \frac{1 + x^{2}}{x} ) dx
= \frac{e^{x^{2}}}{2} (1 + x^{2}) ln x − \frac{e^{x^{2}}}{2} ln x − ∫ \frac{e^{x^{2}}}{2} x dx

Ponendo t = x^{2} nell’ultimo integrale, si ottiene che

\frac{e^{x^{2}}}{2} (1 + x^{2}) ln x − \frac{e^{x^{2}}}{2} ln x − ∫ \frac{e^{x^{2}}}{2} x dx = \frac{e^{x^{2}}}{2} x^{2} ln x − ∫ \frac{e^{t}}{4} dt
= \frac{e^{x^{2}}}{2} x^{2} ln x − \frac{e^{x^{2}}}{4}

4. Perché l’integrale abbia senso deve essere x ≠ −1. Si osserva subito che x^{2} + 2x + 2 = (x + 1)^{2} + 1. Ponendo

x + 1 = sinh t

da cui segue che dx = cosh tdt e utilizzando la relazione nota

cosh^{2} t − sinh^{2} t = 1

si ottiene

∫ \frac{dx}{(x + 1)^{2}\sqrt{x^{2} + 2x + 2}} = ∫ \frac{cosh tdt}{cosh t sinh^{2} t}
= ∫ \frac{dt}{sinh^{2} t} = − coth t
= −\frac{cosh t}{sinh t} = −\frac{\sqrt{x^{2} + 2x + 2}}{x + 1}

con x ≠ −1.

5. Per x ≥ 2 si può fare la sostituzione x = 2 cosh t e si ha che

∫ \sqrt{x^{2} − 4} dx = 2 ∫ sinh t\sqrt{4 cosh^{2} t − 4} dt
= 4 ∫ sinh^{2} t dt = 2 ∫ (cosh 2t − 1) dt
= sinh 2t − 2t = 2 cosh t sinh t − 2t

dove nella terza uguaglianza è stata usata la relazione

sinh^{2} t = \frac{1}{2}(cosh 2t − 1).

Sostituendo, per x ≥ 2, si ottiene

2 cosh t sinh t − 2t = \frac{x}{2}\sqrt{x^{2} − 4} − 2 ln |\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{x^{2} − 4}|
= \frac{x}{2}\sqrt{x^{2} − 4} − 2 ln |x + \frac{1}{2}\sqrt{x^{2} − 4}| + cost