Soluzioni 5-AM3

Laura Di Gregorio

29 marzo 2004

1. Il punto di equilibrio stabile è quello per cui l’energia potenziale del sistema ha un minimo. Bisogna minimizzare la funzione

f(x, y) = mgy + \frac{1}{2}k\{(x − 1)^{2} + y^{2}\}

con vincolo x^{2} + y^{2} − 1 = 0.

\{ \begin{matrix}k(x − 1) + 2λx = 0 \\ mg + ky + 2λy = 0 \\ x^{2} + y^{2} − 1 = 0. \end{matrix}

Dalle prime due equazioni si trovano le soluzioni

x = \frac{k}{k + 2λ} y = \frac{−mg}{k + 2λ}

e mettendole nel vincolo si ha

(k + 2λ)^{2} = k^{2} + m^{2}g^{2}.

Quindi le soluzioni del sistema sono

P_{1} = (\frac{k}{\sqrt{k^{2} + m^{2}g^{2}}} , −\frac{mg}{\sqrt{k^{2} + m^{2}g^{2}}} )

e

P_{2} = (−\frac{k}{\sqrt{k^{2} + m^{2}g^{2}}} , \frac{mg}{\sqrt{k^{2} + m^{2}g^{2}}} )

che corrispondono al minimo e al massimo rispettivamente.

2. Si cercano i punti stazionari per la funzione di 5 variabili: f(x, y, z, λ, μ) = x + 3y − z + λ(x^{2} + y^{2} − z) + μ(z − 2x − 4y).

\{ \begin{matrix}1 + 2λx − 2μ = 0 \\ 3 + 2λy − 4μ = 0 \\ −1 − λ + μ = 0 \\ x^{2} + y^{2} = z \\ 2x + 4y = z. \end{matrix}

Si trova λ = ±\frac{1}{\sqrt{10}} e

P_{1} = (1 + \frac{\sqrt{5}}{2}, 2 + \frac{\sqrt{5}}{2}, 10 + 6\frac{\sqrt{5}}{2})

e

P_{2} = (1 − \frac{\sqrt{5}}{2}, 2 − \frac{\sqrt{5}}{2}, 10 − 6\frac{\sqrt{5}}{2})

che corrispondono al minimo e massimo rispettivamente.

3. Si risolva il sistema

\{ \begin{matrix}4x + 2λxyz = 0 \\ 2y + λx^{2}z = 0 \\ 2z + λx^{2}y = 0 \\ x^{2}yz − 1 = 0. \end{matrix}

Si trova λ = ±2 e il minimo è 4.