Soluzioni 7-AM3

Laura Di Gregorio 23 aprile 2004

1. La funzione integranda è prolungabile con continuità sul compatto misurabile \overline{D} (infatti per y → 0 abbiamo che \frac{sin y^{2}}{y} ⟶ 0) quindi è integrabile su D.

Integrando prima rispetto ad x si ottiene:

∫∫_{D} \frac{sin y^{2}}{y} dxdy = ∫_{0}^{√\overline{π}} ∫_{0}^{y^{2}} \frac{sin y^{2}}{y} dxdy = ∫_{0}^{√\overline{π}} y sin y^{2} dy
= [−\frac{1}{2} cos y^{2}]_{0}^{√\overline{π}} = 1.

2. L’integrale esiste ed è nullo in quanto la funzione integranda è dispari rispetto alla bisettrice degli assi y = x, cioè

f(x, y) = −f(y, x)

ed il dominio d’integrazione è simmetrico rispetto alla bisettrice stessa. 3.

∫_{0}^{π} ∫_{0}^{1}(x sin y − x^{2}y) dx dy = ∫_{0}^{π} [\frac{x^{2}}{2} sin y − \frac{x^{3}}{3} y]_{0}^{1}dy
= ∫_{0}^{π} (\frac{1}{2} sin y − \frac{1}{3}y)dy = 1 − \frac{π^{2}}{6} .

D’altra parte

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{π}(x sin y − x^{2}y) dy dx = ∫_{0}^{1} [ − x cos y − x^{2} \frac{y^{2}}{2} ]_{0}^{π}dx
= ∫_{0}^{1} (x − x^{2} \frac{π^{2}}{2} + x)dx = 1 − \frac{π^{2}}{6} .

a)

∫∫_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} dx dy = ∫_{1}^{2} x^{2}dx ∫_{x^{−1}}^{x} \frac{1}{y^{2}} dy = \frac{9}{4}

b) Il dominio D si può scrivere come dominio normale rispetto alle x: D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ y ≤ 1, y^{2} ≤ x ≤ 1}

quindi l’integrale si calcola

∫∫_{D} y^{3}e^{x} dx dy = ∫_{0}^{1} y^{3}dy ∫_{y^{2}}^{1} e^{x}dx
= ∫_{0}^{1} y^{3}(e − e^{y^{2}})dy
= \frac{e}{4} − ∫_{0}^{1} y^{3} e^{y^{2}}dy
= \frac{e}{4} − ∫_{0}^{1} y^{2} (y e^{y^{2}})dy
= \frac{e}{4} − ∫_{0}^{1} y^{2} \frac{1}{2} \frac{d}{dy} (e^{y^{2}})dy
= \frac{e}{4} − \frac{e}{2} + ∫_{0}^{1} y e^{y^{2}}dy
= \frac{e}{4} − \frac{1}{2}

c) Il dominio D si può scrivere come dominio normale rispetto alle y:

D = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ x ≤ 1, 1 − x ≤ y ≤ \sqrt{1 − x^{2}}\} quindi l’integrale si calcola

∫∫_{D} xy dx dy = ∫_{0}^{1} x dx ∫_{1−x}^{√\overline{1−x^{2}}} y dy
= ∫_{0}^{1} x(\frac{1 − x^{2}}{2} − \frac{(1 − x)^{2}}{2} )dx = \frac{1}{12}