Soluzioni 8-AM3

Laura Di Gregorio 30 aprile 2004

1. Facendo il cambio di coordinate

\{ \begin{matrix}x = 2 + r cos φ 0 ≤ φ ≤ π \\ y = r sin φ 0 ≤ r ≤ 1 \end{matrix}

si ha che

∫∫_{S} xy dxdy = ∫_{0}^{1} r^{2} sin φ ∫_{0}^{π}(2 + r cos φ) dφ dr
= 2 ∫_{0}^{1} r^{2} ∫_{0}^{π} sin φ dφ dr + ∫_{0}^{1} r^{3} ∫_{0}^{π} cos φ sin φ dφ dr = \frac{4}{3}

2. Si osservi che per ogni (x, y) ∈ D

y ≥ 2x^{2} e x ≥ \frac{1}{y}

quindi D è contenuto nel primo quadrante aperto. Facendo il cambio di coordinate

\frac{x^{2}}{y} = ξ e xy = η  (1)

si ha

Φ : (x, y) ⟶ (ξ, η)

la trasformazione definita da (1), allora

Φ(D) = \{(ξ, η) ∈ ℝ^{2} : \frac{1}{3} ≤ ξ ≤ \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ≤ η ≤ 1\}.

Inoltre Φ è invertibile su D e

|JΦ(x, y)| = | y x^{\frac{2x}{y} \frac{−x^{2}}{y^{2}}} | = \frac{3x^{2}}{y}

da cui

|JΦ^{−1}(ξ, η)| = \frac{1}{JΦ(Φ^{−1}(ξ, η))} = \frac{1}{3ξ} .

Quindi

∫∫_{D} \frac{x^{2}}{y} e^{xy} dx dy = ∫∫_{Φ(D)} ξ e^{η}|JΦ^{−1}(ξ, η)| dξ dη

= ∫ \frac{1}{2} \frac{1}{3} [ ∫ 1_{\frac{1}{2}} \frac{e^{η}}{3} dη] dξ = \frac{e − \sqrt{e}}{18}.