Prova scritta di AM3 del 19/7/2004 Appello B

1. Motivare il lavoro svolto. Durante l’esame non è consentito l’uso di appunti, libri, calcolatrici. 2.Indicare sull’elaborato: nome e cognome, n. matricola.

3. Per superare l’esame è necessario svolgere l’esercizio 3.

1) (i) Si risolva la seguente equazione differenziale

y′′ + \frac{2}{3}y′ − \frac{1}{3}y = e^{x/3} , y(0) = 0 , y′(0) = 1 .

(ii) Si trovino due soluzioni C^{1}(ℝ) della seguente equazione differenziale:

y′ = 2\sqrt{y} cos x , y(2π) = 0 .

Quante altre soluzioni C^{1}(ℝ) esistono di tale equazione differenziale?

2) (i) Usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, si trovi il punto (o i punti) più vicini all’origine della superficie

{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : z^{2} = xy + 1} .

(ii) Si dia una giustificazione teorica del metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3) Calcolare i seguenti integrali:

∫_{S}F · ndσ ,  F := (xz, xy, yz) ,  (1)

dove S = ∂{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 , x + y + z ≤ 1} e n è la normale esterna ad S;

∫_{S}fdσ ,  f := (z + 1)\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}} + x^{3} + y^{2} ,  (2)

dove S := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} = z^{2} , 0 < z < 1}.

4) Sia f(x, y) = sen (x^{2} + y) + y^{4}/(1 + sen^{2}(xy)). Dimostrare che se g(x) è una funzione continua che verifica g(0) = 0 e f(x, g(x)) = 0 allora g è derivabile in 0. Calcolare g′(0).

5) Enunciare e dimostrare il lemma di Poincaré per 1-forme su domini stellati.