Soluzioni Prova scritta di AM3 dell’8/9/2004 (Appello X)

1) (2y − x)^{3}(2y + x) = 16 (definizione di y = y(x) implicita).

2) (i) max_{D} f = a^{3}/27, dove D := {x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 : x + y + z = a}, (a > 0). (ii) Si assuma xyz > 0 (altrimenti la disuguaglianza è ovvia) e sia a := x + y + z > 0. La disuguaglianza segue ora dal punto (i) precedente.

3) (i) \frac{8}{27}(10\sqrt{10} − 1).

(ii) 3 − \sqrt{3} + \frac{1}{2} log (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}).

4) Poiché f′(0, 0) = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) f è invertibile in un intorno di (0, 0) e la matrice jacobiana della

funzione inversa nel punto f(0, 0) = (0, 0) è data da ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ).