AM3 - Tutorato XI

Integrazione di 1-forme differenziali

Mercoledì 26 maggio 2004

Esercizio 1. Si calcoli

lim_{n→+∞} ∫_{γ_{n}} y^{2}z^{3} dx + 2xyz^{3} dy + 3xy^{2}z^{2} dz

dove γ_{n} è la curva di parametrizzazione

r⃗_{n} = (1 + sin t)^{n}e⃗_{1} + cos te⃗_{2} + \sqrt[n]{t}e⃗_{3}

per 0 ≤ t ≤ 2π e n = 1, 2, 3 …

Esercizio 2. Calcolare ∫_{γ} ω dove

ω(x, y, z) = \frac{y^{2}}{x + 1} dx + 2y ln(1 + x) dy + xz dz

e

γ = γ_{1} ∪ γ_{2} ∪ γ_{3}

dove γ_{1} è una qualsiasi curva contenuta nel piano x y congiungente l’origine e il punto (1, 0, 0); γ_{2} è il tratto dell’asse z che congiunge l’origine con il punto (0, 0, 1); γ_{3} è il segmento che unisce i punti (0, 0, 1) ed (1, 0, 0).

Esercizio 3. Si consideri la seguente 1- forma differenziale

ω(x, y) = \frac{(y^{3} − x^{2}y) dx + (x^{3} − y^{2}x) dy}{(x^{2} + y^{2})^{2}}

1. Dimostrare che ω è chiusa. Si può dedurre da ciò che ω è esatta? (giustificare la risposta).

2. Sia α > 0 e sia γ_{α} = +∂B_{α} (circonferenza di centro l’origine e raggio α orientata positivamente). Calcolare:

∫_{γ_{α}} ω 3. Sia ora γ una qualsiasi curva chiusa e semplice in ℝ^{2} ∖ {0} che rappresenti

il bordo di un dominio contenente l’origine. Mostrare che:

∫_{γ} ω = 0

4. Dedurre dal punto precedente che ω è esatta e trovarne una primitiva.

(sugg: cercare di esprimere la primitiva in coordinate polari)