AM3 - Tutorato VII

Integrazione su insiemi normali

Mercoledì 21 aprile 2004

Definizione 1. A ⊂ ℝ^{2} si dice insieme normale rispetto all’asse delle y se esistono α e β ∈ C([a, b], ℝ) tali che α(x) ≤ β(x) per ogni x ∈ [a, b] e risulti

A = {(x, y) ∈ [a, b] × ℝ : y ∈ [α(x), β(x)]}

Osserviamo che scambiando il ruolo delle x e delle y otteniamo un insieme normale rispetto all’asse delle x

Proposizione 1. Sia A un sottinsieme di ℝ^{2} normale rispetto all’asse delle x e sia f ∈ C([a, b], ℝ). Allora A è misurabile secondo Peano-Jordan; f è integrabile su A; la funzione

F (x) = ∫_{α(x)}^{β(x)} f(x, y) dy

è continua su [a, b] e

∫_{A} f = ∫_{a}^{b} (∫_{α(x)}^{β(x)} f(x, y) dy) dx

Esercizio 1. Sia A = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ x^{3}} calcolare il seguente integrale doppio considerando A come insieme normale rispetto alle y e successivamente come insieme normale rispetto alle x

∫∫_{A} xy^{2} dx dy

Esercizio 2. Calcolare il seguente integrale doppio

∫∫_{B} xy dx dy

dove B = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 1, x + y ≥ 1, y ≥ 0}

Esercizio 3. Calcolare il seguente integrale doppio

∫∫_{C} x^{3}e^{y} dx dy

dove C = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} ≤ y ≤ −x^{2} + 3, x ≥ 0}