AM3 - Tutorato VIII

Integrazione in ℝ^{n} e cambio di variabili

Mercoledì 28 aprile 2004

Teorema 1 (Cambio di Variabili in ℝ^{n}). Sia A un sottinsieme di ℝ^{n} aperto e misurabile secondo Peano-Jordan; Sia Φ ∈ C^{1}(A, ℝ) iniettiva nell’interno di A, limitata e tale che det(J_{Φ}) ≠ 0 su A (dove J_{Φ} denota la matrice Jacobiana di Φ ) ; allora B = Φ(A) è un aperto misurabile di ℝ^{n} e

mis_{n}(B) = ∫_{A} | det(J_{Φ})| dx

Inoltre se f ∈ R(B) allora f ∘ Φ ∈ R(A) e si ha:

∫_{B} f(y) dy = ∫_{A} f ∘ Φ(x) | det(J_{Φ})| dx

Esercizio 1. Sia A = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : \frac{1}{x} ≤ y ≤ x^{2}, 0 ≤ x ≤ 2\} , calcolare il seguente integrale doppio

∫∫_{A} \frac{x}{y^{3}} dx dy

Esercizio 2. Sia D la porzione della corona circolare di raggi 1 e 2 contenuta nel primo quadrante, calcolare

∫∫_{D} x dx dy

Esercizio 3. Sia B la regione di ℝ^{3} delimitata dalla sfera x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 e dal cono z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} , calcolare il seguente integrale triplo

∫∫∫_{B} z (x^{2} + y^{2}) dx dy dz

(sugg: una volta ottenuto un integrale di due variabili passare a coordinate polari) .

Esercizio 4. Sia T il triangolo di vertici (0, 0) , (1, 0) e (0, −1) calcolare

∫∫_{T} exp (\frac{x + y}{x − y} ) dx dy

(sugg: considerare il cambio di variabili u = x + y e v = x − y) .