AM 4 -Esercitazione 3 A.A.2003-2004

Prof. Luigi Chierchia, Dott. Laura Di Gregorio 9 ottobre 2003

Esercizio 1

Calcolare i seguenti integrali:

a) ∫∫_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} dx dy dove D = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, \frac{1}{x} ≤ y ≤ x\}

b) ∫∫_{D} y^{3}e^{x} dx dy dove D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : y ≥ 0, x ≤ 1, x ≥ y^{2}} c) ∫∫_{D} xy dx dy dove D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x+y ≥ 1, x^{2} +y^{2} ≤ 1}

Esercizio 2

Calcolare

∫∫∫_{D} x dx dy dz

sull’ellissoide D = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} ≤ 1\} con a, b, c > 0.

Esercizio 3

Sia a > 1. Calcolare l’area della regione del piano delimitata dalle rette y = ax, y = \frac{x}{a} e la parabola y = a^{2}x^{2}. Per quale valore di a tale area è massima?

Esercizio 4

Trovare il volume della regione interna al cilindro di equazione x^{2}+y^{2} ≤ 1, compresa tra la superficie di equazione z = x^{2}+y^{2}−2 ed il piano x+y+z = 4.