AM4 -Esercitazione 8 A.A.2003-2004

Prof. Luigi Chierchia, Dott. Laura Di Gregorio

20 novembre 2003

Esercizio

Sia M un k-elemento di varietà in ℝ^{m} e sia N un h-elemento di varietà in ℝ^{n}, 1 ≤ k ≤ m , 1 ≤ h ≤ n. Dimostrare che

a) M × N è un (h + k)- elemento di varietà in ℝ^{m+n};

b) per ogni f ∈ C(M × N, ℝ)

N ∋ y ⟼ ∫_{M} f(x, y)dσ_{M} ∈ C(N),

M ∋ x ⟼ ∫_{N} f(x, y)dσ_{N} ∈ C(M);

c)

∫_{M×N} f(x, y) dσ_{M×N} = ∫_{M} ( ∫_{N} f(x, y) dσ_{N}) dσ_{M}
= ∫_{N} ( ∫_{M} f(x, y) dσ_{M}) dσ_{N}