AM4 -Esercitazione 9 A.A.2003-2004

Prof. Luigi Chierchia, Dott. Laura Di Gregorio

27 novembre 2003

Esercizio 1

a) Siano p, q > 1 tali che \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Dimostrare che ∀s, t ≥ 0 si ha st ≤ \frac{s^{p}}{p} + \frac{t^{q}}{q}.

b) Dimostrare che ∀a_{i}, b_{i} ≥ 0 tali che ∑_{i=1}^{n} a_{i}^{p} = 1 = ∑_{i=1}^{n} b_{i}^{q} si ha ∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} ≤ 1 e dedurre la disuguaglianza di Hölder per x, y ∈ ℂ^{n}:

∑_{i=1}^{n} |x_{i}y_{i}| ≤ |x|_{p}|y|_{q}.

c) Dimostrare la disuguaglianza di Minkowski per la norma | · |_{p}:

|x + y|_{p} ≤ |x|_{p} + |y|_{p}

Esercizio 2

Dimostrare che:

a) ∥·∥_{p} è una seminorma su R(E) con E rettangolo limitato non degenere di ℝ^{n} e R(E) = {funzioni integrabili secondo Riemann su E};

b) ∥ · ∥_{p} è una seminorma su R_{p}(E) ∀p ≥ 1; c) se f è integrabile secondo Riemann su E, rettangolo di ℝ^{n} e ∫_{E} |f| = 0

allora f = 0 su E \ Q con Q di misura nulla;

d) f ∈ R_{p}(E) e ∫_{E} |f| = 0 allora f = 0 su E \ Q con Q di misura nulla.