Prova scritta di AM4 del 7/11/2003 – (I Esonero)

• Per ottenere la sufficienza è necessario svolgere in maniera suffieciente sia la parte I che la parte II.

• Motivare il lavoro svolto.

• Durante l’esame non è consentito l’uso di appunti, libri, calcolatrici.

Parte I

1) Calcolare

∫_{γ} \frac{y^{3} + \sqrt{1 − z}}{z^{2}} ds

dove γ(t) := (cos t, sin t, t) con −\frac{1}{2} ≤ t ≤ \frac{1}{2}.

2) Calcolare

∫ arccos ^{3} \sqrt{x} dx.

3) Sia S la superficie parametrizzata da

x(u, v) = u
y(u, v) = sin v − u cos v
z(u, v) = cos u + u sin v

con v ∈ (0, π) e u ∈ (0, 1). Sia f(x, y, z) = xy + yz + zx, calcolare

∫_{S} fdσ.

Parte II

4) Dimostrare che l’immagine di un insieme di misura nulla secondo un’applicazione lipschitziana è di misura nulla. (Enunciare il/i risultato/i in maniera precisa).

5) Si descriva in maniera sintetica la costruzione della curva di Peano includendo, in particolare: 1) la descrizione della partizione “a livello” k della partizione di [0, 1]^{2} in 4^{k} quadrati {Q_{j}^{(k)}}; 2) la definizione delle curve approssimanti φ_{k} e la dimostrazione che le φ_{k} convergono uniformemente su [0, 1].

6) Si enuncino i risultati relativi a come variano i volumi di rettangoli in ℝ^{n} secondo trasformazioni lineari, discutendo, in particolare, la connessione con il determinante.