Prova scritta di AM4 dell’8/1/2004 – (II Esonero)

• Per ottenere la sufficienza è necessario svolgere in maniera sufficiente sia la parte I che la parte II.

• Motivare il lavoro svolto.

• Durante l’esame non è consentito l’uso di appunti, libri, calcolatrici.

Parte I

1) Si calcoli ζ(4) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{4}} seguendo i seguenti passi:

(i) si deduca l’identità di Parseval per serie di Fourier reali

\frac{a_{0}}{2} + ∑_{n=1}^{∞} a_{n} cos nx + b_{n} sen nx

dall’identità di Parseval per serie di Fourier complesse ∑_{n∈ℤ} c_{n}e^{inx};

(ii) si calcoli la serie di Fourier della funzione pari e di periodo 2π che vale \frac{π^{2}}{12} − \frac{x^{2}}{4} sull’intervallo (−π, π);

(iii) si calcoli ζ(4) usando i punti precedenti.

2) Sia f la funzione con supporto in [0, 1] che vale x sull’intervallo [0, 1].

(i) Si calcoli f̂(ξ).

(ii) Calcolare f̂(0) e verificare, usando l’espressione esplicita per f̂(ξ), che f̂ è continua in ξ = 0.

(iii) Si trovi la soluzione del problema u_{t} − u_{xx} = 0 per t > 0 e x ∈ ℝ con dato iniziale u(0, x) = f(x);

(iv) si calcoli il limite lim_{t→∞} u(x, t) (giustificare accuratamente la risposta!).

Parte II

3) Dare lo schema della dimostrazione del teorema della divergenza in ℝ^{n}.

4) Enunciare e dimostrare il lemma di Riemann-Lebesgue per funzioni R_{1}(0, 2π).

5) Enunciare e dimostrare il teorema sulla inversione della trasformata di Fourier per funzioni C_{0}^{2}(ℝ).