Soluzioni Prova scritta di AM4 del 8/1/2004 – (II Esonero)

1) (i): se f = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{n=1}^{∞}(a_{n} cos nx + b_{n} sen nx) ∈ R_{2}(−π, π), allora

\frac{a_{0}^{2}}{2} + ∑_{n=1}^{∞}(a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) = \frac{1}{π} ∫_{{π \atop −π}}f^{2} .

(ii): \frac{π^{2}}{12} − \frac{x^{2}}{4} = ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n−1} \frac{1}{n^{2}} cos nx, per x ∈ (−π, π).

(iii): da (i) e (ii) segue che ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{4}} = \frac{1}{π} ∫_{{π \atop −π}}f^{2} = \frac{π^{4}}{90}.

2) (i): f̂(ξ) = \frac{iξe^{−iξ} + e^{−iξ} − 1}{\sqrt{2π}ξ^{2}}.

(ii): f̂(0) = \frac{1}{2\sqrt{2π}} e, usando la serie per l’esponenziale,

f̂(ξ) = \frac{1}{2π} \frac{(iξ + 1)(1 − iξ − \frac{ξ^{2}}{2} + O(ξ^{3})) − 1}{ξ^{2}} = \frac{1}{2π} \frac{\frac{ξ^{2}}{2} + O(ξ^{3})}{ξ^{2}} → \frac{1}{2\sqrt{2π}} .

(iii) u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{{∞ \atop −∞}}e^{−ξ^{2}t} e^{ixξ}f̂(ξ)dξ.

(iv): Sia t_{j} ≥ 1 una qualunque successione che tenda a ∞ e siano

g_{j}(ξ) = e^{−ξ^{2}t_{j}} e^{ixξ}f̂(ξ) , g(ξ) = 0 , G(ξ) = \frac{e^{−ξ^{2}}}{2} .

Allora g_{j}, g, G ∈ R_{1}(ℝ) e (poiché |f̂| ≤ ∥f∥_{1} = \frac{1}{2} e t_{j} ≥ 1) |g_{j}| ≤ G; inoltre g_{j} → g uniformemente su [−a, a]. Dal lemma sulla convergenza dominata segue che ∫_{ℝ}g_{j} → 0 per ogni x ∈ ℝ e dall’arbitrarietà della successione t_{j} segue che lim_{t→∞} u(x, t) = 0 per ogni x.