Soluzioni 2-AM4

Laura Di Gregorio

2 ottobre 2003

1. Perché l’integrale abbia senso deve essere x ≠ −1. Si osserva subito che x^{2} + 2x + 2 = (x + 1)^{2} + 1. Ponendo

x + 1 = sinh t

da cui segue che dx = cosh tdt e utilizzando la relazione nota

cosh^{2} t − sinh^{2} t = 1

si ottiene

∫ \frac{dx}{(x + 1)^{2}\sqrt{x^{2} + 2x + 2}} = ∫ \frac{cosh tdt}{cosh t sinh^{2} t}
= ∫ \frac{dt}{sinh^{2} t} = − coth t
= −\frac{cosh t}{sinh t} = −\frac{\sqrt{x^{2} + 2x + 2}}{x + 1}

con x ≠ −1.

2. Scriviamo, per x < 1 o x > 2

x^{2} − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2)

e, ponendo x − 1 = t, otteniamo, per t > 1

∫ \frac{dx}{(x − 1)\sqrt{x^{2} − 3x + 2}} = ∫ \frac{dt}{t^{3/2}\sqrt{t − 1}}.

A questo punto si può porre t = ξ^{2} e si ottiene, per |ξ| > 1,

∫ \frac{dt}{t^{3/2}\sqrt{t − 1}} = 2 ∫ \frac{dξ}{ξ^{2}\sqrt{ξ^{2} − 1}}.

Con la sostituzione

ξ = cosh y

si ha dunque che ξ > 1 e si prenda, per esempio, y > 0,

2 ∫ \frac{dξ}{ξ^{2}\sqrt{ξ^{2} − 1}} = 2 ∫ \frac{dy}{cosh^{2} y} = 2 tanh y = 2\frac{sinh y}{cosh y} .

Sostituendo si ottiene

2\frac{sinh y}{cosh y} = 2\frac{\sqrt{ξ^{2} − 1}}{ξ} = 2\begin{matrix}√ & \overline{t − 1} \\ √ & \overline{t} \end{matrix} = 2\begin{matrix}√ & \overline{x − 2} \\ √ & \overline{x − 1} \end{matrix}

per x > 2.

3. Sia −3 < x < 1. Osserviamo che

4 − (1 + x)^{2} = 3 − 2x − x^{2}.

Ponendo 1 + x = 2 sin t si ottiene che

2 ∫ \sqrt{4 − 4 sin^{2} t} cos t dt = 4 ∫ cos^{2} t dt = 2 ∫ (1 + cos 2t) dt
= 2t + sin 2t = 2t + 2 cos t sin t

Scrivendo il risultato in funzione di x, si ha

∫ \sqrt{3 − 2x − x^{2}} dx = 2 arcsin \frac{x + 1}{2} + (x + 1)\sqrt{3 − 2x − x^{2}}

4. Per x ≥ 2 si può fare la sostituzione x = 2 cosh t e si ha che

∫ \sqrt{x^{2} − 4} dx = 2 ∫ sinh t\sqrt{4 cosh^{2} t − 4} dt
= 4 ∫ sinh^{2} t dt = 2 ∫ (cosh 2t − 1) dt
= sinh 2t − 2t = 2 cosh t sinh t − 2t

dove nella terza uguaglianza è stata usata la relazione sinh^{2} t = \frac{1}{2}(cosh 2t − 1).

Sostituendo, per x ≥ 2, si ottiene

2 cosh t sinh t − 2t = \frac{x}{2}\sqrt{x^{2} − 4} − 2 ln |\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{x^{2} − 4}|
= \frac{x}{2}\sqrt{x^{2} − 4} − 2 ln |x + \frac{1}{2}\sqrt{x^{2} − 4}| + cost

5. Osserviamo che

x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

e facciamo la sostituzione

(x + \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} sinh t.

Si ha

∫ x\sqrt{x^{2} + x + 1} dx = \frac{3}{4} ∫ (\frac{\sqrt{3}}{2} sinh t − \frac{1}{2}) cosh^{2} t dt
= \frac{3}{4} ∫ \frac{\sqrt{3}}{2} sinh t cosh^{2} t − \frac{1}{2} ∫ cosh^{2} t dt
= \frac{\sqrt{3}}{8} cosh^{3} t − \frac{3}{16} t − \frac{3}{16} sinh t cosh t
= \frac{1}{3}(x^{2} + x + 1)^{3/2} − \frac{3}{16} ln (x + \frac{1}{2} + \sqrt{x^{2} + x + 1})

−\frac{1}{4}(x + \frac{1}{2})\sqrt{x^{2} + x + 1}