Soluzioni 7-AM4

Laura Di Gregorio

13 novembre 2003

\underline{SOL}: Sappiamo che Vol(S_{ε}) = ∫_{S_{ε}} dx. Sia ψ(u, t) := φ(u) + tν′(u) dove ν′(u) = ±ν(u). Risulta S_{ε} = ψ(U × [0, ε]) e dalla formula del cambio di variabili

∫_{S_{ε}} dx = ∫_{U×[0,ε]} |det(\frac{∂ψ}{∂(u, t)})|du dt.

Si ha che, detto u = (u_{1}, u_{2})

det(\frac{∂ψ}{∂(u, t)}) = det[∂_{u_{1}}φ + t∂_{u_{1}}ν′, ∂_{u_{2}}φ + t∂_{u_{2}}ν′, ν′(u)]
= det[∂_{u_{1}}φ, ∂_{u_{2}}φ, ν′(u)] + at + bt^{2}

per certi a e b. Dalle proprietà del prodotto vettoriale segue che

|det[∂_{u_{1}}φ, ∂_{u_{2}}φ, ν′(u)]| = |∂_{u_{1}}φ × ∂_{u_{2}}φ|

per come è stato definito ν′(u). Inoltre, per t sufficientemente piccoli

| |∂_{u_{1}}φ × ∂_{u_{2}}φ| + at + bt^{2}| = |∂_{u_{1}}φ × ∂_{u_{2}}φ| + at + bt^{2}.

Risulta:

∫_{S_{ε}} dx = ε ∫_{D} |∂_{u_{1}}φ × ∂_{u_{2}}φ| + ε^{2} ∫_{D} a + ε^{3} ∫_{D} b

Dunque

lim_{ε→0} Vol(S_{ε}) = ∫_{D} |∂_{u_{1}}φ × ∂_{u_{2}}φ| = Area(S)