Prova scritta di AM4 del 13/1/2003 Appello A e recupero esoneri

Recupero I esonero: esercizi da 1) a 6). Recupero teoria I esonero: esercizi 4), 5) e 6). Recupero II esonero: esercizi da 7) a 11). Appello A: esercizi 2), 3), 6), 7), 9), 11). Motivare il lavoro svolto. Durante l’esame non è consentito l’uso di appunti, libri, calcolatrici.

1) Sia f(t) := sen^{2}t sen^{2}ωt. Calcolare ∫ f e lim_{ω→∞} ∫_{{1 \atop 0}}f.

2) Calcolare ∫ \frac{x^{2}}{\sqrt{(x^{2} − 1)^{3}}} .

3) Sia S la superficie parametrizzata da

\{ \begin{matrix}x(u, v) = u \\ y(u, v) = u^{2} + 3 \\ z(u, v) = tan v \end{matrix}

con v ∈ [0, \frac{π}{3} ] e u ∈ [0, 1]. Sia f(x, y, z) = x + y + z, calcolare

∫_{S} fdσ.

4) Enunciare e dimostrare il lemma di Sard in ℝ.

5) Discutere la funzione di Cantor.

6) Enunciare il teorema del cambio di variabili ℝ^{n} per funzioni lineari. Enunciare il caso generale e darne la dimostrazione assumendo noto il caso lineare.

7) Sia f_{α}(x) la funzione con supporto in [0, π] che coincide con x^{α} sen x per x ∈ [0, π]. Sia F_{α} l’estensione dispari e periodica di periodo 2π di f_{α}.

(i) Per quali α ∈ ℝ sono definiti i coefficienti di Fourier di F_{α}?

(ii) Si denoti F̂_{α,n} l’ennesimo coefficiente di Fourier di F_{α}. Calcolare F̂_{0,n} e F̂_{1,n}. (iii) Discutere come decadono i coefficienti di Fourier F_{−1,n} e F_{100,n} quando |n| → ∞.

8) Sia f(x) la funzione con supporto in [−1, 1] che coincide con sen x per x ∈ (−1, 1).

(i) Calcolare la trasformata di Fourier f̂(ξ).

(ii) Discutere la soluzione della seguente equazione differenziale

u_{t} + u_{xxxx} = 0 ,  t > 0 , x ∈ ℝ
u(x, 0) = f(x) .

9) Si dimostri che f̂ è uniformemente continua se f ∈ R_{1}(ℝ)

10) Si dimostri il seguente enunciato: Siano B_{j}, j ≥ 1, insiemi misurabili secondo Peano–Jordan tali che B_{j+1} ⊂ B_{j} e tali che ∩_{j}B_{j} sia un insieme di misura nulla. Allora lim_{j→∞} mis B_{j} = 0.

11) Si dimostri il teorema della divergenza nel caso in cui F ∈ C^{1}(A, ℝ^{n}) abbia supporto compatto contenuto nell’insieme regolare A ⊂ ℝ^{n}.