Soluzioni 5-AM4

Laura Di Gregorio

25 ottobre 2004

1. Siano y < x due punti di C. Sia k tale che \frac{1}{3^{k}} ≤ |x − y| < \frac{1}{3^{k−1}} . Allora esiste j tale che x, y ∈ I_{j}^{(k−1)} (sono gli intervalli definiti nel capitolo L’insieme ternario di Cantor). Sia α := log 2/ log 3. Si avrà:

\frac{|f(x) − f(y)|}{|x − y|^{α}} ≤ 3^{α}k|f(x) − f(y)| = 2^{k}|f(x) − f(y)|
≤ 2^{k}(|f(x) − f_{k}(x)| + |f_{k}(x) − f_{k}(y)| + |f_{k}(y) − f_{(}y)|)
≤ 2^{k} (\frac{1}{2^{k−1}} + \frac{1}{2^{k−1}} + \frac{1}{2^{k−1}} ) = 6.

2. Si vari opportunamente la costruzione dell’insieme ternario di Cantor come segue. Sia σ < 1/2 ed alla mappa C, definita nel capitolo L’insieme ternario di Cantor, si sostituisca la mappa C_{σ} che ad un intervallo [a, b] di lunghezza δ, associa i due sottointervalli [a, a + σδ] e [b − σδ, b] ( l’insieme ternario di Cantor corrisponde a σ = 1/3). La funzione di Cantor associata risulterà essere Hölderiana di esponente α = (log 2)/(log σ^{−1}).

3. Dalla convergenza uniforme si ha che

∫_{0}^{1} f = lim ∫_{0}^{1} f_{k} = 1.

4. Sia g : [0, 1] ⟶ ℝ continua, siano 0 = a_{0} < … < a_{n} = 1 tali che g ∈ C^{1}((a_{j−1}, a_{j})), 1 ≤ j ≤ n. Sia E = [0, 1] \ (⋃_{j} a_{j}), risulta:

∫_{E} g′ = ∑_{j=1}^{n} ∫_{a_{j−1}}^{a_{j}} g′ = ∑_{j=1}^{n} (g(a_{j}) − g(a_{j−1})) = g(1) − g(0).

(i) Si prenda g = f_{k}, E = E_{k} e si osservi che f_{k}(1) = 1, f_{k}(0) = 0. (ii) Risulta 0 ≤ g ≤ cχ_{C_{k}}, ∀ k ∈ ℕ, dal momento che C ⊂ C_{k}. Inoltre

∫ cχ_{C_{k}} = cmis(C_{k})

ed essendo C_{k} insiemi elementari la cui misura tende a 0 per k tendente all’infinito, si ha che g è Riemann integrabile e ∫_{0}^{1} g = 0.