AM540 - Metodi locali in analisi funzionale non lineare

AA 2010-2011 - II Semestre (L. Chierchia)

Diario delle lezioni
• Lezioni 1 e 2 [28/2/11] Teorema di Kolmogorov da [1].

• Lezioni 3 e 4 [2/3/11] Teorema di Kolmogorov (cont).

• Lezioni 5 e 6 [7/3/11] Teorema di Kolmogorov (cont).

• Lezioni 7 e 8 [9/3/11] Teorema di Kolmogorov (conclusione).

• Lezioni 9 e 10 [14/3/11] Teorema della media e forma normale di Kolmogorov forte.

• Lezioni 11 e 12 [16/3/11] Unicità dei tori KAM. In ogni intorno di un toro KAM ci sono infiniti tori KAM.

• Lezioni 13 e 14 [21/3/11] Teorema di Conley-Zehnder: ogni toro KAM è nella chiusura delle orbite periodiche di un suo intorno arbitrario.

• Lezioni 15 e 16 [23/3/11] Appendice B di [2].

• Lezioni 17 e 18 [28/3/11] Appendice A di [2].

• Lezioni 19 e 20 [4/4/11] Forme normali risonanti. Applicazione al caso totalmente non risonante.
  Inizio della dimostrazione.

• Lezioni 21 e 22 [6/4/11] Fine della dimostrazione del lemma sulle forme normali.

• Lezioni 23 e 24 [13/4/11] Introduzione al teorema di Nekhoroshev. Referenze. Controesempio di Nekhoroshev. Connessioni col teorema KAM. Il teorema KAM iso-energetico e stabilità totale nel caso a 2 gradi di libertà.

• Lezioni 25 e 26 [18/4/11] Definizione di steepness e proprietà elementari. Le funzioni (quasi-)convesse sono steep con indici di steepness uguali ad uno. Vettori razionali. Periodo di vettori razionali non nulli. Lemma 3.3 di [3].

• Lezioni 27 e 28 [20/4/11] Il primo teorema di Minkowsi sui convessi. Il teorema di Dirichlet sull'approssimazione diofantea simultanea.

• Lezioni 29 e 30 [27/4/11] Enunciato del teorema di Nekhoroshev in [3]. Schema della dimostrazione. Lemmi 3.1, Corollario 3.2 e Lemma 3.5 di [3].

• Lezioni 31 e 32 [2/5/11] Primo passo schema iterativo: determinazione di r₀, I₀ e controllo delle condizioni di piccolezza.

• Lezioni 33 e 34 [4/5/11] Secondo passo: determinazione di t₁ (Lemma 4.3 di [3]; da completare).

• Lezioni 35 e 36 [9/5/11] Lemma 4.3 di [3]: fine dimostrazione.

• Lezioni 37 e 38 [11/5/11] Il Lemma 4.3 semplificato nel caso quasi-convesso.

• Lezioni 39 e 40 [16/5/11] Terzo passo: determinazione di I₁ e inizio iterazione.

• Lezioni 41 e 42 [18/5/11] Schema iterativo.

• Lezioni 43 e 44 [23/5/11] Stime iterative e conclusione della dimostrazione nel caso quasi-convesso.

• Lezioni 45 e 46 [25/5/11] Geometria delle risonanze ad esempi numerici di diffusione.

• Lezioni 47 e 48 [30/5/11] Discussione finale.

Bibliografia
[1] L. Chierchia, A. N. Kolmogorov's 1954 paper on nearly-integrable Hamiltonian systems. Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 13, no. 2, pp. 130-139 (2008)
[2] J. Pöschel, Nekhoroshev estimates for quasi-convex Hamiltonian systems. Math. Z. 213 (1993), no. 2, 187-216.
[3] L. Niederman, Exponential stability for small perturbations of steep integrable Hamiltonian systems. Ergodic Theory Dynam. Systems 24 (2004), no. 2, 593-608

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi@mat.uniroma3.it