AM6 - Principi dell'Analisi Funzionale

AA 2008-2009 (II Semestre, Corso di letture)
L. Chierchia

• Diario indicativo delle lezioni
  
  • la numerazione delle proposizioni si riferisce al libro di H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Théorie et applications , Masson 1983
    
  • fra parentesi si indica la data dell'incontro settimanale
  I settimana (6/3/09) Generalità sugli operatori lineari tra spazi normati; norma di operatori lineari. Esempi di spazi normati infinito dimensionali. Seminorme. Lemma di Zorn (enunciato). Teorema di Hahn-Banach (formulazione analitica)
  II settimana (13/3/09) Alcuni corollari del teorema di Hahn-Banach. La funzione di gauge di un convesso aperto contenente l'origine. Esempi di funzionali lineari non continui su un qualunque spazio normato infinito-dimensionale. Separazione di insiemi tramite iperpiani chiusi. Teorema di Hahn-Banach: formulazione geometrica (debole e forte). Funzioni semicontinue inferiormente. Insiemi e funzioni convesse.
  III settimana (20/3/09) Funzioni coniugate e bi-coniugate. Teorema di Fenchel-Moreau. Il lemma di Baire. Il teorema di Banach-Steinhaus. Il teorema dell'applicazione aperta.
  IV settimana (27/3/09) Alcune conseguenze del teorema dell'applicazione aperta: corollario II.6; osservazione 5. Teorema del grafico chiuso. Relazioni d'ortogonalità in spazi di Banach. Proposizione II.12. Ortogonale in uno spazio di Banach e nel duale. Proposizioni II.13, II.14 e Corollario II.14. Operatori non limitati; operatori non limitati chiusi. L'aggiunto di un operatore non limitato. L'aggiunto di un operatore non limitato è chiuso. J(G(A^*))=G(A) ^⊥.
  V settimana (3/4/09) Corollario II.17. Teorema II.18 (solo enunciato). Topologie generate da una data famiglia di insiemi; la topologia meno fine che rende continue una data famiglia di funzioni. Proposizioni III.1 e III.2. Topologia debole σ(E,E'); proprietà fondamentali (proposizioni III.3, III.4, III.5, III.6). Se E è uno spazio di Banach infinito dimensionale, la chiusura debole di {||x||=1} è {||x|| ≤ 1}. Un sottoinsieme convesso di uno spazio di Banach è (fortemente) chiuso se e solo se è debolmente chiuso.
  VI settimana (17/4/09) Una funzione convessa e s.c.i. su E (forte) è s.c.i. per la topologia debole σ(E,E'). Un operatore lineare tra due spazi di Banach è (fortemente) continuo se e solo se è continuo da (E,σ(E,E')) in (F,σ(F,F')). La topologia * debole su E': proprietà generali. Teorema di Banach, Alaoglu.
  Spazi riflessivi. Lemmi di Helly e Goldstine. Uno spazio di Banach è riflessivo se e solo se la sua palla unitaria è debolmente compatta.
  VII settimana (24/4/09) E (spazio di Banach) è riflessivo se e solo se E' è riflessivo. Corollario III.19. Corollario III.20. Teorema III.21.
  Spazi separabili. Se E è uno spazio di Banach tale che E' è separabile allora E è separabile. Corollario III.24. Sia E uno spazio di Banach. Allora, B_E' è metrizzabile per σ(E',E) se e solo se E è separabile. Corollari III.26 e III.27.
  Spazi uniformemente convessi. Gli spazi di Banach uniformemente convessi sono riflessivi. Proposizione III.30.
  VIII settimana (30/4/09) Spazi di Hilbert: proprietà geometriche fondamentali (prodotto scalare; disuguaglianza di Cauchy; identità del parallelogramma; uniforme convessità; riflessività proiezione su convessi chiusi). Duale di uno spazio di Hilbert (teorema di Riesz-Fréchet)
  Forme bilineari, continue e coercive: teorema di Stampacchia e teorema di Lax-Milgram. Somma diretta di sottospazi; diseguaglianza di Bessel ed identità di Parseval. Basi hilbertiane. Spazi di Hilbert separabili e costruzione di una base hilbertiana (Gram-Schmidt).
  IX settimana (8/5/09) Operatori compatti. Lo spazio degli operatori compatti è chiuso. Operatori a rango finito. Il limite (forte) di operatori a rango finito è compatto; in spazi di Hilbert ogni operatore compatto è limite di operatori a rango finito. Componendo operatori compatti con operatori limitati si ottengono operatori compatti. Un operatore è compatto se e solo se il suo aggiunto è compatto. Teoria di Fredholm. Lemmi di Risz (Lemma VI.1 e VI.5). Teorema dell'alternativa di Fredholm.
  X settimana (15/5/09) Supplementari topologici. Conclusione della dimostrazione del teorema dell'alternativa di Fredholm. Definizione di spettro. Esempi di operatori compatti con spettro dato da una successione (arbitraria) di numeri reali a_n tendenti a 0.
  Lo spettro di un operatore limitato T è un sottoinsieme compatto dell'intervallo [-||T||,||T||]. Spettro di operatori compatti. Teorema spettrale per operatori compatti autoaggiunti.
  XI e XII settimana (22/5 e 8/6, ore 11) Il Problema di Dirichlet in R³ e operatori compatti.

• Esercizi assegnati
  Assegnazione 1
  Assegnazione 2
  Assegnazione 3
  Assegnazione 4
  Assegnazione 5
  Assegnazione 6
  Assegnazione 7

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi@mat.uniroma3.it