1 Insiemi compatti

1.1 Insiemi chiusi in spazi metrici

Sia X uno spazio metrico (ovvero un insieme dotato di una metrica d(·, ·)).

Proposizione 1 Un sottoinsieme E ⊂ X è chiuso se e solo se le successioni in E non ammettono limite fuori da E.

Dimostrazione Per contrapposizione: E non chiuso ⟺ E^{c} := X\E non è aperto ⟺ esiste x_{0} ∈ E^{c} tale che, per ogni k > 0, B_{\frac{1}{k}} (x_{0}) ∩ E ≠ ∅ ⟺ esiste \{x_{k}\} ⊂ E e x_{0} ∉ E tale che lim x_{k} = x_{0}.

Un corollario immediato di tale risultato, nel caso in cui X sia uno spazio metrico completo, è la seguente

Proposizione 2 Un sottoinsieme E ⊂ X è chiuso se e solo se le successioni di Cauchy in E hanno limite in E.

1.2 Insiemi compatti in spazi metrici

Sia X uno spazio topologico (ovvero un insieme dotato di una topologia^{1} A); un insieme E ⊂ X si dice compatto se da ogni ricoprimento aperto di E si può estrarre un sottoricoprimento finito:

E ⊂ ⋃_{α∈I} E_{α} , E_{α} aperto ⟹ ∃ α_{1}, ..., α_{k} ∈ I : E ⊂ ⋃_{i=1}^{k} E_{α_{i}} ;

qui I è un insieme arbitrario (e quindi non necessariamente numerabile) di indici.

Se X è uno spazio metrico si dimostra^{2} che E ⊂ X è compatto se e solo se è compatto per successioni ovvero se:

∀ {x^{(k)}} ⊂ E , ∃ {k_{j}} e x_{0} ∈ E : lim_{j→∞} x^{(k_{j})} = x_{0} .  (1.1)

1 Una topologia su di un insieme arbitrario X è, per definizione, una famiglia A di sottoinsiemi di X (detti “insiemi aperti”) che goda delle seguenti proprietà: (i) X e ∅ appartengono a A; (ii) un’unione arbitraria di elementi di A è un elemento di A; (iii) un’intersezione finita di elementi di A è un elemento di A. I complementari degli insiemi aperti si chiamano insiemi chiusi.

2Ad esempio nel corso GE3.

1.3 Insiemi compatti in R^{n}

Proposizione 3 E ⊂ ℝ^{n} è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Dimostrazione Sia E ⊂ ℝ^{n} chiuso e limitato e sia E_{0} := {x^{(k)}} una successione in E. Se #E_{0} < ∞ esiste una sottosuccessione costante di {x^{(k)}} e quindi (1.1) vale banalmente. Supponiamo ora #E_{0} = ∞. Poiché E è limitato, esiste un cubo chiuso K di lato R tale che E ⊂ K. Dividiamo K in 2^{n} cubi chiusi K_{i} di lato R/2. Chiaramente, esiste un i ∈ {1, ..., 2^{n}} tale che #E_{0} ∩ K_{i} = ∞. Iterando la costruzione (dividendo cioè K_{i} in 2^{n} cubi chiusi di lato R/4 etc.) si trova una successione di cubi K_{i} = K′_{1} ⊃ K′_{2}, ⋯ ⊃ K′_{j} ⋯ di lato R/2^{j} tali che #E_{0}∩K′_{j} = ∞. In particolare, per ogni j esiste k_{j} tale che x^{(k_{j})} ∈ K′_{j}. Dunque se i > j, x^{(k_{i})} e x^{(k_{j})} stanno entrambi in K′_{j} e quindi^{3} |x^{(k_{i})} − x^{(k_{j})}|_{∞} ≤ R/2^{j}, ovvero, la sottosuccessione x^{(k_{j})} è di Cauchy e, poiché E è chiuso lim x^{(k_{j})} = x_{0} per un x_{0} ∈ E. Il che prova che E è compatto. Dimostriamo l’implicazione inversa per contrapposizione: assumiamo che E non sia chiuso e limitato. Se E non è chiuso (per la Proposizione 1) esiste {x^{(k)}} ⊂ E e x_{0} ∈ E^{c} tale che x^{(k)} → x_{0} e dunque qualunque sottosuccessione di {x^{(k)}} ha limite x_{0} ∉ E. Quindi E non è compatto. Se E è non limitato, per ogni k > 0 esiste x^{(k)} ∈ E con |x^{(k)}|_{∞} > k e nessuna sottosuccessione di {x^{(k)}} può essere di Cauchy.

1.4 Insiemi chiusi e limitati non compatti

In spazi metrici più “grandi” di ℝ^{n}, in generale, gli insiemi chiusi e limitati non sono compatti. Sia X := C([0, 1], ℝ) lo spazio vettoriale delle funzioni continue da [0, 1] in ℝ dotato della norma^{4}

∥u∥_{∞} := sup_{0≤x≤1} |u(x)| .

Proposizione 4 La palla chiusa unitaria di X, E := {u ∈ X : ∥u∥_{∞} ≤ 1}, non è compatta.

Dimostrazione Sia {u_{n}} ⊂ E la successione definita da

u_{n}(x) = \{ \begin{matrix}2nx , & se 0 ≤ x ≤ \frac{1}{2n} , \\ 2 − 2nx , & se \frac{1}{2n} ≤ x ≤ \frac{1}{n} , \\ 0 , & se \frac{1}{n} ≤ x ≤ 1 . \end{matrix}

Poiché, per ogni m ≥ 2n, si ha che

∥u_{m} − u_{n}∥_{∞} ≥ |u_{m}(\frac{1}{2n}) − u_{n}(\frac{1}{2n})| = 1

3Se x, y appartengono ad un cubo di lato r allora |x − y|_{∞} ≤ r.

4 (X, ∥ · ∥_{∞}) è uno spazio di Banach (ovvero normato e completo).

non è possibile estrarre da {u_{n}} alcuna successione di Cauchy e dunque E non è compatto.

1.5 Immagini di compatti e teorema di Weierstrass

Siano (X_{1}, d_{1}) e (X_{2}, d_{2}) due spazi metrici.

Proposizione 5 Sia K_{1} ⊂ X_{1} un insieme compatto e f : K_{1} → X_{2} una funzione continua. Allora K_{2} := f(K_{1}) è un insieme compatto.

Dimostrazione Sia {y^{(k)}} ⊂ K_{2}. Sia {x^{(k)}} ⊂ K_{1} tale che f(x^{(k)}) = y^{(k)}. Essendo K_{1} compatto esiste {k_{j}} e x_{0} ∈ K_{1} tali che d_{1}(x^{(k_{j})}, x_{0}) → 0. Poiché f è continua su K_{1}, d_{2}(f(x^{(k_{j})}, f(x_{0})) → 0 il che mostra che K_{2} è compatto.

Lemma 6 Sia E ⊂ ℝ compatto. Allora E ha massimo e minimo: esistono m, M ∈ E tali che m ≤ x ≤ M per ogni x ∈ E.

Dimostrazione Sia M l’estremo superiore di E. Poiché E è limitato M < ∞. Dalla definizione di estremo superiore segue che esiste {x_{k}} ⊂ E tale che x_{k} → M e poiché E è chiuso M ∈ E. Per il minimo si ragiona in modo analogo.

Dalla Proposizione 5 e dal Lemma 6 segue immediatamente il seguente teorema di Weierstrass:

Proposizione 7 (Teorema di Weierstrass) Sia (X, d) uno spazio metrico e K ⊂ X un insieme compatto. Una funzione continua f : K → ℝ ammette massimo e minimo in K.