Versione del 22/10/04

5 Il teorema del cambio di variabili

Teorema 1 Sia A ⊂ ℝ^{n} un aperto misurabile e ϕ ∈ C^{1}(\overline{A}, ℝ^{n}) tale che ϕ sia iniettiva su A e

det \frac{∂ϕ}{∂x} ≠ 0 ,  ∀ x ∈ A .  (1)

Allora B := ϕ(A) è un aperto misurabile di ℝ^{n} e se f è una funzione integrabile su^{1} B allora f ∘ ϕ è integrabile su A e si ha che

∫_{B}f(y)dy = ∫_{A}f ∘ ϕ(x) | det \frac{∂ϕ}{∂x}(x)|dx .  (4)

In particolare, vale

mis(ϕ(A)) = ∫_{A}| det \frac{∂ϕ}{∂x}(x)|dx .  (5)

Nella dimostrazione useremo il seguente

Lemma 2 Sia A un aperto limitato di ℝ^{n} ed F ∈ C(\overline{A}, ℝ^{m}).

(i) Se F (A) è aperto in ℝ^{m} allora ∂(F (A)) ⊂ F (∂A). (ii) Se F è iniettiva su \overline{A} allora F (∂A) ⊂ ∂(F (A)).

Dimostrazione (i) Sia B := F (A) e y ∈ ∂B, cioè (essendo B aperto per ipotesi) ∃ y_{n} ∈ B tali che y_{n} → y ∉ B. Siano x_{n} ∈ A tali che F (x_{n}) = y_{n}. Poiché \overline{A} è compatto, esiste una sottosuccesione x_{n_{k}} convergente in \overline{A}, e sia x = lim_{k→∞} x_{n_{k}}. Per la continuità

∑_{R∈R} ( sup_{R∩B} f − inf_{R∩B} f) mis(R ∩ B) ≤ ε  (2)

1 Ricordiamo che f è integrabile secondo Riemann su B ⊂ ℝ^{n} se B è misurabile secondo Peano-Jordan e se, dato un qualunque rettangolo, limitato e non degenere E che contenga B, la funzione f̄_{B} (cioè la funzione che coincide con f su B e vale 0 su B^{c}) è integrabile secondo Riemann su E. E’ facile vedere che (esercizio) f è integrabile secondo Riemann su B se e solo se per ogni ε > 0 esiste una partizione R di E tale che ed in tal caso

sup_{{R partizione di E}} ∑_{R∈R}( inf_{R∩B} f) mis(R ∩ B) = ∫_{B}f = inf_{{R partizione di E}} ∑_{R∈R}( sup_{R∩B} f) mis(R ∩ B) . (3)

di F, F (x_{n_{k}}) = y_{n_{k}} → F (x), cioè y = F (x). Ma allora x ∈ ∂A: se fosse x ∈ A, y = F (x) apparterrebbe a B, contrariamente alla nostra assunzione. Quindi ∂(F (A)) ⊂ F (∂A). (ii) Sia x ∈ ∂A e y = F (x). Poiché A è aperto, x non appartiene ad A ed esistono x_{n} ∈ A tali che x_{n} → x. Per la continuità di F, y_{n} := F (x_{n}) → F (x) = y e naturalmente y_{n} ∈ B. D’altra parte, y ∉ B e quindi y ∈ ∂B: se fosse y ∈ B, per l’iniettività di F, x = F^{−1}(y) e quindi x apparterrebbe ad A contrariamente alla nostra assunzione. Dunque F (∂A) ⊂ ∂(F (A)).

Osservazione 3 (i) Per n = 1, la (4) non è altro che la nota formula del cambio di variabile in integrali semplici: in tal caso ϕ è una funzione scalare di variabile reale x ∈ ℝ ed il suo jacobiano è la derivata di ϕ rispetto ad x. Si noti che l’apparire del modulo è dovuto al fatto che se ϕ′ < 0 la funzione ϕ non conserva l’ordine: supponiamo infatti che A = [a, b] e ϕ′ < 0 su (a, b) (cioè ϕ è strettamente decrescente su [a, b]), allora ϕ([a, b]) = [ϕ(b), ϕ(a)]. Quindi, per la formula del cambio di variabile in integrali semplici (ponendo y = ϕ(x)), si ha

∫_{{ϕ(a) \atop ϕ(b)}}f(y)dy = ∫_{{a \atop b}}f ∘ ϕ(x)ϕ′dx

= −∫_{{b \atop a}}f ∘ ϕ(x)ϕ′dx = ∫_{[a,b]}f ∘ ϕ(x)|ϕ′|dx .

Nel resto di questa sezione consideremo n ≥ 2. (ii) La formula (5) si ottiene da (4) prendendo f ≡ 1. (iii) Il fatto che B = ϕ(A) sia un insieme aperto è conseguenza del teorema della funzione inversa (e dell’assunzione che det ϕ′ ≠ 0 su A). (iv) Per il Lemma 2, punto (i), essendo B = ϕ(A) un insieme aperto, ∂ϕ(A) ⊂ ϕ(∂A). Inoltre ∂A è un insieme di misura nulla (essendo A misurabile). Quindi poiché ϕ (essendo C^{1}(\overline{A})) è uniformemente lipschitziana su \overline{A}, segue che ϕ(∂A) è un insieme di misura nulla e quindi lo è anche il suo sottoinsieme ∂(ϕ(A)). Dunque, per il teorema di Riemann-Lebesgue, B è un insieme misurabile.

(v) Poiché ϕ è un diffeomeorfismo, y_{0} ∈ B è un punto di continuità per f se e solo se x_{0} = ϕ^{−1}(y_{0}) è un punto di continuità per f ∘ ϕ. Quindi, ancora, per il teorema di Riemann-Lebesgue, f è integrabile su B se e solo se f ∘ ϕ è integrabile su A ed essendo le funzioni integrabili secondo Riemann un’algebra, f ∘ ϕ | det ϕ′| è integrabile su A. (vi) Sia ϕ(x) = T x con T ∈ Mat(n × n) matrice invertibile ed A il cubo unitario n– dimensionale aperto (0, 1)^{n} e K_{1} = \overline{A}. In tal caso la matrice jacobiana \frac{∂ϕ}{∂x} coincide con T stessa e quindi le ipotesi del teorema sono chiaramente soddisfatte. La formula (5) diviene, allora,

mis(T K_{1}) = mis(T A) = | det T | mis(A) = | det T | .  (6)

In realtà la parte più significativa del teorema è proprio l’affermazione (6): il caso generale, infatti, si ricondurrà a (6) approssimando, localmente, ϕ(x) con la formula di Taylor al prim’ordine.

Cominciamo dunque con il discutere (6). Si ricordi che il determinante, visto come funzione delle colonne, è caratterizzato dalle seguenti tre proprietà: 1) scambiando di posto a due colonne, il valore del determinante cambia segno, 2) il determinante è una funzione lineare della prima colonna^{2}, 3) il determinante di (e^{(1)}, ..., e^{(n)}), dove {e^{(i)}} è la base standard di ℝ^{n}, vale 1. Tale caratterizzazione significa che se Δ è una funzione a valori reali e definita su n–nuple di vettori in ℝ^{n} che verifica

1) Δ(..., v^{(i)}, ..., v^{(j)}, ...) = −Δ(..., v^{(j)}, ..., v^{(i)}, ...) , i ≠ j ,
2) Δ(av^{(1)} + bw^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) =
= aΔ(v^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) + bΔ(w^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) ,
3) Δ(e^{(1)}, ..., e^{(n)}) = 1 ,  (7)

(dove la scrittura simbolica nel punto 1) sta a significare che scambiando la i–esima colonna con la j–esima il valore di Δ cambia segno) allora Δ coincide con il determinante, cioè

Δ(v^{(1)}, ..., v^{(n)}) = det[v^{(1)}, ..., v^{(n)}] = ∑_{σ} ε_{σ}v_{σ_{1}}^{(1)} ⋯ v_{σ_{n}}^{(n)} ,

dove la sommatoria è estesa a tutte le permutazioni σ dell’insieme {1, ..., n} e ε_{σ} denota il^{3} “segno di σ”.

La relazione tra determinanti e volumi si basa sulla seguente definizione: siano v^{(1)},..., v^{(n)}, n vettori in ℝ^{n} e sia T := [v^{(1)}, ..., v^{(n)}] la matrice che ha come j–esima colonna le n componenti, v_{i}^{(j)}, di v^{(j)}.

Definizione 4 Si chiama “parallelepipedo con lati v^{(1)}, ..., v^{(n)}” (o anche “parallelepipedo generato da v^{(1)}, ..., v^{(n)}”) l’insieme

Π(v^{(1)}, ..., v^{(n)}) := {y ∈ ℝ^{n} : y = ∑_{j=1}^{n} x_{j}v^{(j)} con 0 ≤ x_{j} ≤ 1 , ∀1 ≤ j ≤ n} . (8)

Se x ∈ ℝ^{n}, T x = ∑_{j=1}^{n} x_{j}v^{(j)}, dunque da tale definizione segue immediatamente che

Π(v^{(1)}, ..., v^{(n)}) = T K_{1} ,  (T := [v^{(1)}, ..., v^{(n)}] , K_{1} := [0, 1]^{n}) .  (9)

2E dunque, per 1), il determinante è una funzione lineare della j–esima colonna, con j qualunque.

3Una permutazione σ di {1, ..., n} è una mappa uno–uno σ : j ∈ {1, ..., n} → σ_{j} ∈ {1, ..., n} e ε_{σ} è il segno di σ (cioè (−1)^{p} dove p è il numero di scambi che bisogna fare per ordinare la n–nupla (σ_{1}, ..., σ_{n})

o, più analiticamente, ε_{σ} = ∏_{i<j} segno(σ_{j} − σ_{i})).

Dimostrazione di (6). Identificando una n-pla di vettori^{4} (v^{(1)}, ..., v^{(n)}) con la matrice T := [v^{(1)}, ..., v^{(n)}], definiamo

Δ_{0}(v^{(1)}, ..., v^{(n)}) := mis(T K_{1}) = mis (Π(v^{(1)}, ..., v^{(n)}) ,  (10)

e^{5}

Δ(T) := segno (det T) Δ_{0}(T) .  (11)

Si noti che se det T = 0, Π(T) è contenuto in uno spazio vettoriale di dimensione m < n e dunque , in tal caso, mis(Π(T)) = 0 e Δ(T) = 0. Per dimostrare (6) basterà dimostrare che la funzione Δ verifica 1), 2), 3) di (7) cosicché si avrà Δ(T) = det T e prendendo il modulo di tale relazione si otterrà (6). Dalla definizione di Π(v^{(1)}, ..., v^{(n)}) segue immediatamente che

Π(..., v^{(i)}, ..., v^{(j)}, ...) = Π(..., v^{(j)}, ..., v^{(i)}, ...)  (12)

e da (9) e da (11) segue immediatamente che, scambiando due vettori di posto, Δ cambia segno: la proprietà 1) è verificata. E’ anche chiaro che

Π(e^{(1)}, ..., e^{(n)}) = K_{1}  (13)

e dunque Δ(e^{(1)}, ..., e^{(n)}) = 1 e cioè vale la proprietà 3). Più delicata è la verifica della linearità. Cominciamo con l’osservare che se p è un intero positivo, notando che [0, p] = {x_{1}p : 0 ≤ x_{1} ≤ 1} = ∪_{i=1}^{p}(i − 1) + [0, 1],

Π(pv^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) := {x_{1}pv^{(1)} + ∑_{j=2}^{n} x_{j}v^{(j)} : 0 ≤ x_{j} ≤ 1}

= ⋃_{i=1}^{p}{(i − 1 + x_{1})v^{(1)} + ∑_{j=2}^{n} x_{j}v^{(j)} : 0 ≤ x_{j} ≤ 1}

= ⋃_{i=1}^{p} ((i − 1)v^{(1)} + Π(v^{(1)}, ..., v^{(n)})) .  (14)

Poiché l’insieme nell’ultima riga di (14) è formato dall’unione di p insiemi di eguale misura (essendo la misura invariante per traslazioni) aventi in comune solo insiemi di misura nulla (“facce” dei parallelepipedi), si ha che la misura di Π(pv^{(1)}, v^{(2)}, ...) è p volte la misura di Π(v^{(1)}, v^{(2)}, ...); cioè

Δ_{0}(av^{(1)}, ..., v^{(n)}) = aΔ_{0}(v^{(1)}, ..., v^{(n)})  (15)

4Si ricordi che n ≥ 2.

5Useremo qui la convenzione che segno (0) = 0.

vale con a = p intero positivo. Ora se det T > 0 da (15) segue

Δ(av^{(1)}, ..., v^{(n)}) = aΔ(v^{(1)}, ..., v^{(n)}) ,  (16)

e se det T < 0, per (15) si ha che

Δ(av^{(1)}, ..., v^{(n)}) = −Δ_{0}(av^{(1)}, ..., v^{(n)})
= −aΔ_{0}(v^{(1)}, ..., v^{(n)})
= aΔ(v^{(1)}, ..., v^{(n)}) ,  (17)

il che dimostra la (16) per ogni T. Ora,

Δ(v^{(1)}, ..., v^{(n)}) = Δ(p \frac{1}{p}v^{(1)}, ..., v^{(n)}) = pΔ(\frac{1}{p}v^{(1)}, ..., v^{(n)})  (18)

e quindi (dividendo la (18) per p, si vede che) (16) vale anche per a = \frac{1}{p} con p intero positivo. Combinando questi due fatti si ottiene subito che (16) vale per a numero razionale positivo. Dopodiché osservando che, se 0 < α < β

Π(αv^{(1)}, ..., v^{(n)}) ⊂ Π(βv^{(1)}, ..., v^{(n)})  (19)

si ottiene facilmente (15) per a ∈ (0, ∞): basta infatti considerare due successioni monotone di numeri razionali positivi, a_{i} < a < a′_{i} che tendano, rispettivamente da sinistra e da destra al numero reale a, ed usare (16) per razionali positivi che insieme alla relazione (19) implica

a_{i}Δ_{0}(v^{(1)}, ..., v^{(n)}) ≤ Δ_{0}(av^{(1)}, .., v^{(n)}) ≤ a′_{i}Δ_{0}(v^{(1)}, ..., v^{(n)})

e prendendo il limite per i → ∞ si ottiene (15) con a numero reale positivo. Da (15) segue la (16) quando det T > 0 e, nel caso det T < 0, la (16) per a > 0 segue da (17). Per a = 0, (16) deriva immediatamente dalla definizione, essendo det[0, v^{(2)}, .., v^{(n)}] = 0. Infine si noti che

v^{(1)} + Π(−v^{(1)}, ..., v^{(n)}) = {(1 − x_{1})v^{(1)} + ∑_{j=2}^{n} x_{j}v^{(j)} : 0 ≤ x_{j} ≤ 1}
= Π(v^{(1)}, ..., v^{(n)})  (20)

e dunque, essendo il segno di det(−v^{(1)}, ..., v^{(n)}) opposto a quello di det(v^{(1)}, ..., v^{(n)}), si ottiene (16) con a = −1. Infine se a è un numero reale negativo, a = −|a|, si ottiene

Δ(av^{(1)}, ..., v^{(n)}) = −Δ(|a|v^{(1)}, ..., v^{(n)}) = aΔ(v^{(1)}, ..., v^{(n)}) ,

quindi (16) è vera per ogni a ∈ ℝ. Usando la già dimostrata proprietà 1) si ottiene immediatamente che

Δ(v^{(1)}, ..., av^{(j)}, ..., v^{(n)}) = aΔ(v^{(1)}, ..., v^{(n)}) ,  (21)

per qualunque 1 ≤ j ≤ n. Resta ora da dimostrare

Δ(v + w, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) = Δ(v, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) + Δ(w, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) .  (22)

Cominciamo col discutere un caso particolare di (22) e cioè v = v^{(1)}, w = v^{(2)} (in qual caso il secondo addendo a destra di (22) è nullo per definizione di Δ):

Δ(v^{(1)} + v^{(2)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) = Δ(v^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) .  (23)

Se det T = det[v^{(1)}, ..., v^{(n)}] = 0, la (23) è chiaramente vera. Assumiamo che det T > 0 e introduciamo i seguenti “prismi”

D_{1} := {x ∈ K_{1} : x_{2} ≤ x_{1}} , D_{2} := {x ∈ K_{1} : x_{2} ≥ x_{1}} , D_{3} := e^{(2)} + D_{1}  (24)

e si noti che mis(D_{1} ∩ D_{2}) = 0, mis(D_{2} ∩ D_{3}) = 0; che Π(e^{(1)}, ..., e^{(n)}) = K_{1} e che

Π(e^{(1)} + e^{(2)}, e^{(2)}, ..., e^{(n)}) = {x_{1}e^{(1)} + (x_{1} + x_{2})e^{(2)} + ⋯, 0 ≤ x_{i} ≤ 1}
= {x_{1}e^{(1)} + ye^{(2)} + ⋯, 0 ≤ x_{1} ≤ 1 , x_{1} ≤ y ≤ 1 + x_{1} , ...}
= {x_{1}e^{(1)} + ye^{(2)} + ⋯, 0 ≤ x_{1} ≤ 1 , x_{1} ≤ y ≤ 1 , ...} ∪

{x_{1}e^{(1)} + (1 + y)e^{(2)} + ⋯, 0 ≤ x_{1} ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x_{1} , ...}

= D_{2} ∪ (e^{(2)} + D_{1}) =: D_{2} ∪ D_{3}  (25)

Si ricordi anche che, se T = [v^{(1)}, ..., v^{(n)}], T e^{(i)} = v^{(i)} e che, per ogni A ∈ Mat(n × n), AT = [Av^{(1)}, ..., Av^{(n)}] e AΠ(T) = Π(AT). Quindi,

Π(v^{(1)}, ..., v^{(n)}) = T K_{1} = T D_{1} ∪ T D_{2} ,
Π(v^{(1)} + v^{(2)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) = Π(T e^{(1)} + T e^{(2)}, T e^{(2)}, ..., T e^{(n)})
= Π(T (e^{(1)} + e^{(2)}, e^{(2)}, ..., e^{(n)}))
= T Π(e^{(1)} + e^{(2)}, e^{(2)}, ..., e^{(n)})
= T D_{2} ∪ T D_{3}
= T D_{2} ∪ (v^{(2)} + T D_{1}) .

Quindi, poiché mis(T D_{1} ∩ T D_{2}) = 0 e mis(T D_{2} ∩ T D_{3}) = 0 (essendo x → T x derivabile) e poiché la misura è invariante per traslazioni, si ottiene

mis (Π(v^{(1)} + v^{(2)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)})) = mis(T D_{2}) + mis(T D_{3})
= mis(T D_{2}) + mis(T D_{1})
= mis(T D_{1} ∪ T D_{2})
= mis (Π(v^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) ,

il che dimostra (23) nel caso det T > 0; poiché det[v^{(1)} + v^{(2)}, v^{(2)}, ...] = det[v^{(1)}, v^{(2)}, ...], il caso det T < 0 segue immediatamente. Combinando (23) con la proprietà 1) si ottiene

Δ(v^{(1)} + v^{(j)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) = Δ(v^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)})  (26)

per ogni 2 ≤ j ≤ n. Sia ora a un numero diverso da 0. Allora da (21) (con j = 2) e da (23), si ottiene

Δ(v^{(1)} + av^{(2)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) = \frac{1}{a}Δ(v^{(1)} + av^{(2)}, av^{(2)}, ..., v^{(n)})
= \frac{1}{a}Δ(v^{(1)}, av^{(2)}, ..., v^{(n)})
= Δ(v^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) .  (27)

Naturalmente per a = 0, l’uguaglianza tra il primo e l’ultimo membro di (27) è banalmente vera. Usando ancora la proprietà 1), otteniamo, per ogni 2 ≤ j ≤ n, e per ogni a ∈ ℝ,

Δ(v^{(1)} + av^{(j)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) = Δ(v^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) ;  (28)

da tale relazione segue facilmente che, per ogni a_{j},

Δ(v^{(1)} + ∑_{j=2}^{n} a_{j}v^{(j)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) = Δ(v^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) ,  (29)

che equivale alla (22) nel caso in cui w appartenga allo spazio generato da {v^{(j)}, j ≥ 2}. Naturalmente se v^{(2)}, ..., v^{(n)} sono linearmente dipendenti (22) è banalmente vera, essendo entrambi i membri a sinistra e destra dell’uguaglianza nulli. Assumiamo dunque w =: v^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)} linearmente indipendenti, cosicché v^{(1)}, ..., v^{(n)} forma una base in ℝ^{n}. Allora esistono n costanti a_{i} tali che v = ∑_{i=1}^{n} a_{i}v^{(i)} ed usando (28) ed (16),

Δ(v + w, v^{(2)}, ..., v^{(n)})

= Δ(∑_{i=1}^{n} a_{i}v^{(i)} + v^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)})

= Δ((1 + a_{1})v^{(1)} + ∑_{i=2}^{n} a_{i}v^{(i)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)})

= Δ((1 + a_{1})v^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) = (1 + a_{1})Δ(v^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) = Δ(v^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) + Δ(a_{1}v^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)})

= Δ(v^{(1)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) + Δ(a_{1}v^{(1)} + ∑_{i=2}^{n} a_{i}v^{(i)}, v^{(2)}, ..., v^{(n)}))

= Δ(w, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) + Δ(v, v^{(2)}, ..., v^{(n)}) .

Questo completa la dimostrazione della proprietà 2) e quindi per quanto discusso sopra, vale (6).

Osservazione 5 Si noti che, infatti, abbiamo dimostrato (6) per ogni matrice T (cioè non solo per matrici T invertibili).

Sia ora R il rettangolo [0, b_{1}] × ⋯ × [0, b_{n}] con b_{n} > 0. Allora R = ΛK_{1} dove Λ = diag (b_{1}, ..., b_{n}) e quindi

mis(T R) = mis (T (ΛK_{1})) = mis ((T Λ)K_{1}) = | det(T Λ)|
= | det T | | det Λ| = | det T |(b_{1}b_{2} ⋯ b_{n}) = | det T | mis(R) .

E poiché, se a = (a_{1}, ..., a_{n}),

[a_{1}, b_{1}] × ⋯ × [a_{n}, b_{n}] = a + [0, b_{1} − a_{1}] × ⋯ × [0, b_{n} − a_{n}]

dall’invarianza della misura per traslazione segue che

mis(T R) = | det T | mis(R)  (30)

per ogni rettangolo in ℝ^{n}.

Siamo ora pronti per la

Dimostrazione di (5). Sia Δ_{ϕ}(x) := | det \frac{∂ϕ}{∂x}(x)|. Dividiamo la dimostrazione di (5) in tre passi: (1) dimostriamo prima che per ogni cubo chiuso R ⊂ A, vale

mis(ϕ(R)) = ∫_{R}|Δ_{ϕ}(x)|dx ;  (31)

(2) vediamo poi che (31) vale anche se R è un qualunque rettangolo chiuso contenuto in A e, (3), dimostriamo (5). Nel corso della dimostrazione denoteremo con |x| la norma del massimo in ℝ^{n} (|x| = max_{i} |x_{i}|) e con ∥T ∥ la relativa norma matriciale (∥T ∥ = sup_{|x|=1} |T x|).

(1) Sia R un cubo chiuso contenuto in A. Possiamo scrivere per ogni x ∈ R ed ogni h tale che x_{0} + h ∈ R

ϕ(x_{0} + h) = ϕ(x_{0}) + \frac{∂ϕ}{∂x}(x_{0})h + θ(h, x_{0})  (32)

con

θ(h, x_{0}) := [∫_{{1 \atop 0}}(\frac{∂ϕ}{∂x}(x_{0} + th) − \frac{∂ϕ}{∂x}(x_{0}))dt]h  (33)

(si noti che R è un insieme convesso e quindi il segmento {x_{0}+th : t ∈ [0, 1]} è interamente contenuto in R). Fissiamo ε > 0 e sia δ > 0 tale che

|Δ_{ϕ}(x) − Δ_{ϕ}(y)| ≤ ε , ∥\frac{∂ϕ}{∂x}(x) − \frac{∂ϕ}{∂x}(y)∥ ≤ ε  (34)

per ogni x, y ∈ R tali che |x−y| ≤ δ. Da (34) e (33) segue che, per ogni x ∈ R, x+h ∈ R con |h| ≤ δ

|θ(h, x)| ≤ |h|ε .  (35)

Sia R una partizione di R in cubi di lato r con r ≤ δ. Introduciamo la seguente notazione: indichiamo con K_{ρ}(x) il cubo chiuso di lato ρ centrato in x ovvero^{6}:

K_{ρ}(x) := \{y : |y − x| ≤ \frac{ρ}{2}\} .  (36)

Dimostriamo che esiste una costante c_{1} > 0 indipendente da ε tale che, per ogni cubo K = K_{r}(x_{0}) della partizione R,

T K_{r(1−c_{1}ε)}(y_{0}) ⊂ ϕ(K) ⊂ T K_{r(1+c_{1}ε)}(y_{0}) ,  (37)

dove T := ϕ′(x_{0}) e y_{0} = T^{−1}ϕ(x_{0}). Riscriviamo la (37) come

K_{r(1−c_{1}ε)}(y_{0}) ⊂ T^{−1}ϕ(K) ⊂ K_{r(1+c_{1}ε)}(y_{0}) .  (38)

Poiché la mappa x → T^{−1}ϕ(x), su R = \overline{R} ⊂ A, è continua, invertibile ed aperta^{7}, per il lemma 2 si ha che

∂(T^{−1}ϕ(K)) = T^{−1}ϕ(∂K) ,  (39)

e quindi, se x ∈ ∂K ovvero se x = x_{0} + h con |h| = \frac{r}{2}, usando (32) (moltiplicata per T^{−1}), si ottiene

|T^{−1}ϕ(x) − y_{0}| = |h + T^{−1}θ|

≥ |h| − |T^{−1}θ| = \frac{r}{2} − |T^{−1}θ|

≥ \frac{r}{2}(1 − ∥T^{−1}∥ ε)  (40)

dove, nell’ultima disuguaglianza abbiamo usato (35). Se poniamo

c_{1} = sup_{A} ∥(\frac{∂ϕ}{∂x})^{−1}∥  (41)

6Si ricordi che stiamo denotando con | · | la norma del massimo.

7Si ricorda che una funzione F si dice “aperta” se l’immagine di ogni insieme aperto è un aperto ovvero se F (A) è un insieme aperto, per ogni insieme aperto A.

otteniamo che un punto sulla frontiera di T^{−1}ϕ(K) ha distanza (in norma del massimo | · |) almeno \frac{r}{2}(1 − c_{1}ε) da y_{0} e quindi

K_{r(1−c_{1}ε)}(y_{0}) ⊂ T^{−1}ϕ(K) .

Analogamente, se x è un punto di K, e quindi x = x_{0} + h con |h| ≤ \frac{r}{2},

|T^{−1}ϕ(x) − y_{0}| = |h + T^{−1}θ|
≤ |h|(1 + c_{1}ε) ≤ \frac{r}{2}(1 + c_{1}ε) ,  (42)

ovvero vale anche la seconda inclusione di (38). Sia ε > 0 e δ come in (34). Dimostriamo che esiste una costante c_{2} (indipendente da ε) tale che, per ogni cubo K_{r}(x_{0}) ⊂ A con r ≤ δ, si ha

|Δ_{ϕ}(x_{0}) mis (K_{r}(x_{0})) − mis (ϕ(K_{r}(x_{0}))|
= | mis (ϕ′(x_{0}) K_{r}(x_{0})) − mis (ϕ(K_{r}(x_{0}))| ≤ c_{2} ε mis(K_{r}(x_{0})) .  (43)

Infatti, assumendo che ε < 1 e c_{1}ε < 1 ed osservando che

1 = (1 − c_{1}ε + c_{1}ε)^{n} ≤ (1 − c_{1}ε)^{n} + c̄ε ,  c̄:= c_{1} ∑_{j=1}^{n} \binom{n}{j} ,
1 = (1 + c_{1}ε − c_{1}ε)^{n} ≥ (1 + c_{1}ε)^{n} − c̄ε ,

si ottiene che

mis (ϕ′(x_{0}) K_{r}(x_{0})) = | det ϕ′(x_{0})| r^{n}
≤ | det ϕ′(x_{0})| (r(1 − c_{1}ε))^{n} + c_{2} ε r^{n}
= | det ϕ′(x_{0})| mis (K_{r(1−c_{1}ε)}(y_{0})) + c_{2} ε mis(K_{r}(x_{0}))
= mis (ϕ′(x_{0}) K_{r(1−c_{1}ε)}(y_{0})) + c_{2} ε mis(K_{r}(x_{0}))
≤ mis (ϕ(K_{r}(x_{0}))) + c_{2} ε mis(K_{r}(x_{0}))

dove y_{0} := (ϕ′(x_{0}))^{−1}ϕ(x_{0}) e c_{2} := c̄ sup_{A} | det ϕ′(x)|. In modo del tutto analogo si ottiene

mis (ϕ′(x_{0}) K_{r}(x_{0})) ≥ mis (ϕ(K_{r}(x_{0}))) − c_{2} ε mis(K_{r}(x_{0}))

e, dunque, la validità di (43).

Ora, sia ε > 0 arbitrario e δ come sopra e sia {R_{j}}, 1 ≤ j ≤ N, una partizione del cubo R in cubi di lato r ≤ δ e centro x^{(j)}. Allora, per (34) e (43), si ha

|∫_{R}Δ_{ϕ} − mis(ϕ(R))| = | ∑_{j} ∫_{R_{j}}Δ_{ϕ} − ∑_{j} mis(ϕ(R_{j}))|
≤ ∑_{j} |∫_{R_{j}}Δ_{ϕ} dx − Δ_{ϕ}(x^{(j)}) mis(R_{j})|

+ ∑_{j} |Δ_{ϕ}(x^{(j)}) mis(R_{j}) − mis(ϕ(R_{j}))|

≤ ε ∑_{j} mis(R_{j}) + c_{2}ε ∑_{j} mis(R_{j})
≤ mis(A)(1 + c_{2}) ε .

Dall’arbitrarietà di ε segue la (31) con R cubo chiuso in A.

(2) Ricordiamo i seguenti fatti:

(i) Dato un rettangolo chiuso R ⊂ ℝ^{n} e dato ε > 0, possiamo trovare N cubi a due a due disgiunti K_{i} ⊂ R tali che, se

R_{1} := ⋃_{i=1}^{N} K_{i} , R_{2} := R\R_{1}

si abbia

mis(R_{2}) ≤ ε .

In altre parole, per ogni ε > 0, è possibile decomporre un rettangolo nell’unione di N cubi più un insieme elementare di misura non superiore ad ε.

(ii) Se ϕ è lipschitziana con costante di Lipschitz L (rispetto alla norma del massimo) su E e se K_{r} è un cubo tale che K_{r} ∩ E ≠ ∅, allora per ogni x_{0} ∈ K_{r} ∩ E, si ha che

ϕ(K_{r} ∩ E) ⊂ K_{2Lr}(ϕ(x_{0})) .  (44)

Quindi, se R ⊂ E è un insieme elementare, allora

mis(ϕ(R ∩ E)) ≤ (2L)^{n} mis(R) .  (45)

Sia, dunque, R un rettangolo chiuso contenuto in A e sia ε > 0. Siano R_{1} e R_{2} come al punto (i) della precedente osservazione. Allora, per il passo (1) e le osservazioni (i) e (ii) qui sopra si ha che

∫_{R_{1}}Δ_{ϕ} = ∑_{i=1}^{N} ∫_{K_{i}}Δ_{ϕ} = ∑_{i=1}^{N} mis(ϕ(K_{i})) = mis(ϕ(R))

da cui

|∫_{R}Δ_{ϕ} − mis(ϕ(R))| = |∫_{R_{2}}Δ_{ϕ} − mis(ϕ(R_{2}))|
≤ ( sup_{A} Δ_{ϕ} + (2L)^{n} + 1) ε .

Dall’arbitrarietà di ε segue la (31) vale per ogni rettangolo chiuso R ⊂ A.

(3) Poiché A è misurabile, la sua frontiera è misurabile ed ha misura nulla. Quindi, fissato ε > 0, esiste un insieme elementare R_{2} ⊃ ∂A di misura minore di ε. A questo punto definenedo R_{1} := A\R_{2} (che è un sottoinsieme elementare di A per cui vale la (31)) possiamo ripetere l’argomento usato al passo (2) e concludere la validità di (5).

Dimostrazione di (4). Sia R una partizione di E ⊃ B = ϕ(A). Allora

∫_{A} f ∘ ϕ Δ_{ϕ} = ∑_{R∈R} ∫_{ϕ^{−1}(R∩B)}f ∘ ϕ Δ_{ϕ}

≤ ∑_{R∈R} ( sup_{ϕ^{−1}(R∩B)} f ∘ ϕ)∫_{ϕ^{−1}(R∩B)}Δ_{ϕ}

= ∑_{R∈R}(sup_{R∩B} f) mis(R ∩ B)

e quindi da (3), prendendo l’estremo inferiore su tutte le partizioni R di E, segue che

∫_{A}f ∘ ϕ Δ_{ϕ} ≤ ∫_{B}f .

La disuguaglianza inversa si dimostra in maniera del tutto analoga.