Versione del 6/10/04

1 L’insieme ternario di Cantor

Dato un intervallo chiuso [a, b] di lunghezza δ := b − a > 0, definiamo la mappa C come la mappa che all’intervallo [a, b] associa i due intervalli chiusi di lunghezza δ/3 ottenuti rimuovendo da [a, b] l’intervallo aperto di lughezza δ/3 con centro nel punto di mezzo di [a, b]:

C([a, b]) = [a, a + \frac{1}{3}δ] ∪ [a + \frac{2}{3}δ, b] .  (1)

Definizione 1 Sia I_{1}^{(0)} := [0, 1] e sia F_{0} := {I_{1}^{(0)}}. Per k ≥ 1, definiamo ricorsivamente la famiglia di intervalli F_{k} := {I_{j}^{(k)}, 1 ≤ j ≤ 2^{k}}, di lunghezza 1/3^{k}, ottenuta da F_{k−1} definendo gli I_{j}^{(k)} tramite la relazione

I_{2j−1}^{(k)} ∪ I_{2j}^{(k)} := C(I_{j}^{(k−1}) .  (2)

L’insieme

C := ⋂_{k=0}^{∞} C_{k} ,  C_{k} := ⋃_{j=1}^{2^{k}} I_{j}^{(k)} ,  (3)

prende il nome di insieme (ternario) di Cantor.

Cominciamo col discutere alcune semplici proprietà di C.

(i) Denotiamo con a_{j}^{(k)} e b_{j}^{(k)} gli estremi di I_{j}^{(k)}:

I_{j}^{(k)} =: [a_{j}^{(k)}, b_{j}^{(k)}] .  (4)

Per costruzione, si ha che

a_{2j−1}^{(k)} = a_{j}^{(k−1)} , b_{2j−1}^{(k)} = a_{j}^{(k−1)} + \frac{1}{3^{k}} ,

a_{2j}^{(k)} = a_{j}^{(k−1)} + \frac{2}{3^{k}} , b_{2j}^{(k)} = b_{j}^{(k−1)} ,  (5)

per ogni k ≥ 1 e j ≤ 2^{k−1}. Si noti anche che, essendo

∑_{i=k+1}^{∞} \frac{2}{3^{i}} = \frac{1}{3^{k}} ,  (6)

l’estremo destro di I_{2j−1}^{(k)} può anche scriversi come

b_{2j−1}^{(k)} = a_{j}^{(k−1)} + ∑_{i=k+1}^{∞} \frac{2}{3^{i}} .  (7)

Dalle relazioni (5) segue in particolare che, per ogni j, a_{j}^{(k−1)} e b_{j}^{(k−1)} appartengono a C_{k} per ogni k e dunque:

a_{j}^{(k)}, b_{j}^{(k)} ∈ C ,  ∀ k ≥ 1 , ∀ 1 ≤ j ≤ 2^{k} .  (8)

(ii) Chiaramente

b_{j}^{(k)} < a_{j+1}^{(k)} ,  ∀ 1 ≤ j ≤ 2^{k} − 1 ,  (9)

il che significa che gli intervalli I_{j}^{(k)} sono a due a due disgiunti, cosicché

mis C_{k} = (\frac{2}{3})^{k} ,  mis ([0, 1]\C_{k}) = 1 − (\frac{2}{3})^{k} .  (10)

(iii) Gli C_{k} formano una famiglia decrescente di insiemi elementari chiusi C_{k+1} \underline{\underline{⊂}}_{/} C_{k}.

(iv) C è chiuso (essendo intersezione di insiemi chiusi).

(v) C ⊂ C_{k} per ogni k e poiché la misura dei C_{k} tende a zero quando k tende ad infinito (per (10)), si ha che l’insieme ternario di Cantor C è un insieme di misura nulla.

L’insieme di Cantor è strettamente collegato all’espansione ternaria dei numeri reali come mostra la seguente

Proposizione 2 Per ogni k ≥ 1,

\{a_{j}^{(k)} : 1 ≤ j ≤ 2^{k}\} = \{x = ∑_{i=1}^{k} \frac{a_{i}}{3^{i}} : a_{i} ∈ \{0, 2\}\} ,  (11)

\{b_{j}^{(k)} : 1 ≤ j ≤ 2^{k}\} = \{x = ∑_{i=1}^{k} \frac{a_{i}}{3^{i}} + ∑_{i=k+1}^{∞} \frac{2}{3^{i}} : a_{i} ∈ \{0, 2\}\} .  (12)

Inoltre

C = \{x = ∑_{i=1}^{∞} \frac{a_{i}}{3^{i}} : a_{i} ∈ \{0, 2\}\} .  (13)

Dimostrazione Le (11) e (12) derivano immediatamente, per induzione, dalle relazioni in (5) e da (7). Chiamiamo, ora, C_{∗} l’insieme dei punti in zero con espansione ternaria in cui non compare mai l’uno:

C_{∗} := \{x = ∑_{i=1}^{∞} \frac{a_{i}}{3^{i}} : a_{i} ∈ \{0, 2\}\} .  (14)

Vogliamo dimostrare che C = C_{∗}. Gli a_{j}^{(k)} sono punti di C (vedi (8)) e sono tutti i punti che ammettono espansione ternaria finita in cui non compare l’1; da questo segue, essendo C chiuso che

C_{∗} ⊂ C .  (15)

Per dimostrare l’inclusione inversa faremo vedere la relazione equivalente

C_{∗}^{c} := [0, 1]\C_{∗} ⊂ [0, 1]\C =: C^{c} .  (16)

Sia dunque x ∈ [0, 1]\C_{∗}. Questo significa che x ammette un’espansione ternaria infinita della forma

x = ∑_{i=1}^{k−1} \frac{a_{i}}{3^{i}} + \frac{1}{3^{k}} + ∑_{i=k+1}^{∞} \frac{b_{i}}{3^{i}} ,  (17)

con k ≥ 1 (se k = 1 la prima somma è assente), a_{i} ∈ {0, 2} e i b_{i} non tutti nulli né tutti uguali a due: infatti se i b_{i} fossero tutti nulli allora, per (6),

x = ∑_{i=1}^{k−1} \frac{a_{i}}{3^{i}} + \frac{1}{3^{k}} = ∑_{i=1}^{k−1} \frac{a_{i}}{3^{i}} + \frac{0}{3^{k}} + ∑_{i=k+1}^{∞} \frac{2}{3^{i}} ∈ C_{∗} ;

analogamente se tutti i b_{i} fossero uguali a 2 si avrebbe (di nuovo per la (6)):

x = ∑_{i=1}^{k−1} \frac{a_{i}}{3^{i}} + \frac{1}{3^{k}} + ∑_{i=k+1}^{∞} \frac{2}{3^{i}} = ∑_{i=1}^{k−1} \frac{a_{i}}{3^{i}} + \frac{2}{3^{k}} ∈ C_{∗} .

Poiché i b_{i} non sono tutti nulli né tutti uguali a 2 si ha che (ancora (6))

0 < ∑_{i=k+1}^{∞} \frac{b_{i}}{3^{i}} < ∑_{i=k+1}^{∞} \frac{2}{3^{i}} < \frac{1}{3^{k}} .  (18)

Ora, poiché

∑_{i=1}^{k−1} \frac{a_{i}}{3^{i}} + \frac{1}{3^{k}} = b_{j}^{(k−1)}

per un qualche j si ha che

b_{j}^{(k−1)} < x < b_{j}^{(k−1)} + \frac{1}{3^{k}} = a_{j+1}^{(k−1)} ,

e, dunque, x ∉ C_{k} da cui segue che x ∉ C.

Nella prossima proposizione raccogliamo le proprietà più importanti di C.

Osservazione 3 Una maniera equivalente di dire che un punto x ∈ [0, 1] ha un’espansione ternaria senza 1 è dire che esiste N ∈ ℕ ∪ {∞} ed esistono 1 ≤ k_{j} ↑ tali che

x = 2 ∑_{j=1}^{N} \frac{1}{3^{k_{j}}} ,  (19)

(con la convenzione che se N = 0 allora x = 0).

Proposizione 4 (i) C è perfetto (ossia chiuso e senza punti isolati). (ii) C è totalmente disconnesso (ossia non contiene intevalli aperti). (iii) La cardinalità di C è la cardinalità del continuo (cioè la cardinalità di ℝ). (iv) C è di misura nulla.

Dimostrazione (i): ogni punto x ∈ C ha la forma (19). Se N < ∞ in (19) e se poniamo

x_{n} := 2 ∑_{j=1}^{N} \frac{1}{3^{k_{j}}} + \frac{2}{3^{k_{N} +n}} ,

si ha che x < x_{n} ∈ C, per ogni n ≥ 1, e x = lim_{n→∞} x_{n} e dunque x non è isolato. Se N = ∞ in (19), e se poniamo

x_{n} := 2 ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{3^{k_{j}}} ,

si ha che x > x_{n} ∈ C e x = lim_{n→∞} x_{n} e dunque, anche in questo caso, x non è isolato. (ii): supponiamo, per assurdo, che C ⊃ (a, b) con a < b. Poichè C è chiuso, [a, b] ⊂ C. Sia k ≥ 1 tale che 1/3^{k} < (b − a). Poiché a ∈ C ⊂ C_{k}, esiste un j tale che a ∈ I_{j}^{(k)} per un qualche j e poiché (b − a) > 1/3^{k}, b ∉ I_{j}^{(k)}; ma questo implicherebbe che [a, b] ∩ C_{k}^{c} ≠ ∅, che è in contraddizione con l’ipotesi fatta che C ⊃ (a, b). (iii) E’ noto che #ℝ = #{0, 1}^{ℕ} e da (13) segue immediatamente che #C = {0, 1}^{ℕ}. (iv): vedi (v) pag. 2.