Versione dell’ 8/10/04

2 La funzione di Cantor

Sia C ⊂ [0, 1] l’insieme ternario di Cantor (vedi § 1). Il complementare di C è l’insieme aperto A := [0, 1]\C. Descriviamo brevemente la struttura di A . Chiaramente,

A = ⋃_{k≥1} A_{k}  dove A_{k} := [0, 1]\C_{k} .  (1)

Inoltre A_{k} è unione disgiunta degli intervalli aperti “subito a destra” degli I_{j}^{(k)}: più precisamente

A_{k} = ⋃_{j=1}^{2^{k}−1} J_{j}^{(k)} ,  J_{j}^{(k)} := (b_{j}^{(k)}, a_{j+1}^{(k)}) .  (2)

Da tale definizione seguono immediatamente le seguenti relazioni^{1}

J_{2j}^{(k)} = J_{j}^{(k−1)} ,  |J_{2j−1}^{(k)}| = \frac{1}{3^{k}} ,  ∀ k ≥ 1 , ∀1 ≤ j ≤ 2^{k−1} .  (3)

Per cui, se h > k,

J_{i}^{(h)} ∩ A_{k} ≠ ∅  ⟺  i = 2^{h−k}j ed in tal caso J_{i}^{(h)} = J_{j}^{(k)} .  (4)

Proposizione 1 (Funzione di Cantor o“scala del diavolo”) Esiste una unica funzione continua f : [0, 1] → [0, 1] tale che:

(i) se x ∈ A

f(x) = \frac{j}{2^{k}}  (5)

dove k ≥ 1 e 1 ≤ j ≤ 2^{k} − 1 sono tali che x ∈ J_{j}^{(k)} (in particolare f è costante sugli intervalli J_{j}^{(k)}). Inoltre: (ii) f è monotona non decrescente; (iii) f(C) = [0, 1].

1Se E è un insieme elementare, |E| denota la sua misura (secondo Peano–Jordan).

Osservazione 2 (i) Si noti che può esistere più d’una coppia di j e k per cui x ∈ J_{j}^{(k)} ma, grazie alla relazione (4), il rapporto nel membro di destra di (5) non cambia (e dunque la relazione (5) è ben posta). (ii) La funzione di Cantor è continua e mappa un insieme di misura nulla (cioè l’insieme ternario di Cantor) in un insieme di misura 1. (iii) Si può dimostrare che la funzione di Cantor è uniformemente Hölderiana^{2} su C con esponente α = (log 2)/(log 3).

Dimostrazione (della Proposizione 1) Per ogni k ≥ 1 definiamo la funzione

φ_{k} : A_{k} → [0, 1]  (6)

come la funzione che vale j/2^{k} su J_{j}^{(k)} ed estendiamo tale φ_{k} ad una funzione continua monotona non decrescente f_{k} : [0, 1] → [0, 1] tramite interpolazione lineare: più precisamente f_{k} è definita su I_{j}^{(k)} come la retta di coefficiente angolare (3/2)^{k} che unisce i punti (a_{j}^{(k)}, (j − 1)/2^{k}) e (b_{j}^{(k)}, j/2^{k}). Si noti che, poiché, f_{k} è monotona non decrescente e f_{k}(0) = 0 mentre f_{k}(1) = 1 si ha che

f_{k}([0, 1]) = f_{k}(C_{k}) = [0, 1] .  (7)

Da tali definizioni seguono anche immediatamente le seguenti proprietà:

f_{h}(a_{j}^{(k)}) = f_{k}(a_{j}^{(k)}) = \frac{j − 1}{2^{k}} e f_{h}(b_{j}^{(k)}) = f_{k}(b_{j}^{(k)}) = \frac{j}{2^{k}}  ∀ h ≥ k ; (8)
f_{h}|_{A_{k}} = f_{k}  ∀ h ≥ k .  (9)

Facciamo ora vedere che la successione {f_{k}} converge uniformemente su [0, 1] e, quindi, che

f := lim_{k→∞} f_{k}  (10)

è una funzione continua. Cominciamo col dimostrare che

|f_{k+1}(x) − f_{k}(x)| ≤ \frac{1}{2^{k}} ,  ∀ k , ∀ x ∈ [0, 1].  (11)

Infatti, se x ∈ C_{k}, allora apparterrà ad un qualche I_{j}^{(k)} e dalle definizioni date (in particolare dalla monotonia e da (8)) segue che

−\frac{1}{2^{k}} = \frac{j − 1}{2^{k}} − \frac{j}{2^{k}} = f_{k+1}(a_{j}^{(k)}) − f_{k}(b_{j}^{(k)})
≤ f_{k+1}(x) − f_{k}(x)
≤ f_{k+1}(b_{j}^{(k)}) − f_{k}(a_{j}^{(k)}) = \frac{j}{2^{k}} − \frac{j − 1}{2^{k}} = \frac{1}{2^{k}} .

2Una funzione g : A ⊂ ℝ^{n} → ℝ^{m} si dice Hölderiana su A di esponente 0 < α < 1 se esiste una costante M > 0 tale che per ogni x e y in A si ha che |g(x) − g(y)| ≤ M |x − y|^{α} .

Se, invece, x ∈ A_{k} allora (per la (9)) f_{k+1}(x) = f_{k}(x) e dunque la (11) vale. Quindi, per ogni h > k si ha

|f_{h}(x) − f_{k}(x)| = | ∑_{j=k}^{h−1} f_{j+1}(x) − f_{j}(x)| ≤ ∑_{j=k}^{h−1} |f_{j+1}(x) − f_{j}(x)|
≤ ∑_{j=k}^{h−1} \frac{1}{2^{j}} ≤ ∑_{j=k}^{∞} \frac{1}{2^{j}}
= \frac{1}{2^{k−1}} ,  (12)

e questo implica che la successione {f_{k}} converge uniformemente su [0, 1] ad una funzione continua f. Inoltre, prendendo il limite per h che tende ad infinito in (12) si ha che

sup_{x∈[0,1]} |f(x) − f_{k}(x)| ≤ \frac{1}{2^{k−1}} ,  ∀ k ≥ 1 .  (13)

Se x ∈ A, esiste k tale che x ∈ A_{k} e dunque, per la (9), f_{k}(y) = f_{k+1}(y) = ⋯ = f(y) = j/2^{k}, per ogni y nell’intervallo massimale contenente x, il che prova la (i). Dalla monotonicità delle f_{k} segue la (ii). Sia ora ȳ ∈ [0, 1]. Vogliamo far vedere che esiste un x̄ ∈ C tale che f(x̄) = ȳ. Poiché f([0, 1]) = [0, 1] (f è continua, monotona e f(0) = 0 e f(1) = 1) esiste un x ∈ [0, 1] tale che f(x) = ȳ. Se x ∈ C poniamo x̄ = x ed abbiamo finito. Se x ∈ C^{c} = A, esiste J_{j}^{(k)} tale che x ∈ J_{j}^{(k)} ma allora (poiché f è costante su J_{j}^{(k)} ed è continua) ȳ = f(x) = f(b_{j}^{(k)}). Ma b_{j}^{(k)} ∈ C e dunque possiamo porre x̄ = b_{j}^{(k)}.

Esercizio 1 (i) Determinare la frontiera di C e di A. (ii) Trovare un insieme numerabile denso in C. Esercizio 2 Dimostrare che f non è iniettiva su C. Esercizio 3 Dimostrare che f è iniettiva sull’insieme C̃ := C\F, dove F := ( ⋃_{k≥1} ∂C_{k}). Esercizio 4 Dimostrare l’affermazione (iii) dell’Osservazione 2. Esercizio 5 Dimostrare che, per ogni 0 < α < 1 esiste un insieme di misura nulla C_{α} ⊂ [0, 1] ed una funzione f_{α} ∈ C([0, 1], [0, 1]), Hölderiana di esponente α, tale che f_{α}(C_{α}) = [0, 1]. Esercizio 6 Calcolare ∫_{{1 \atop 0}}f. Esercizio 7 (i) Sia E_{k} = [0, 1]\∂C_{k}. Si Calcoli ∫_{E_{k}}f′_{k}. (ii) Sia c ∈ ℝ e sia g(x) = c se x ∈ C e g(x) = 0 se x ∈ C^{c}. Dire se g è integrabile secondo Riemann ed in caso affermativo calcolarne l’integrale.

Suggerimenti e/o soluzioni: Es.1 (i): ∂C = C; ∂A = C. Es.2: f(b_{j}^{(k)}) = f_{k}(b_{j}^{(k)}) = f_{k}(a_{j+1}^{(k)}) = f(a_{j+1}^{(k)}).

Es.4: Siano y < x due punti di C. Sia k tale che \frac{1}{3^{k}} ≤ |x − y| < \frac{1}{3^{k−1}} . Allora esiste j tale che

x, y ∈ I_{j}^{(k−1)}. Sia α := log 2/ log 3. Si avrà:

\frac{|f(x) − f(y)|}{|x − y|^{α}} ≤ 3^{α(k−1)} |f(x) − f(y)| = 2^{k−1} |f(x) − f(y)|
≤ 2^{k−1}(|f(x) − f_{k}(x)| + |f_{k}(x) − f_{k}(y)| + |f_{k}(y) − f(y)|)
≤ 2^{k−1}(\frac{1}{2^{k−1}} + \frac{1}{2^{k−1}} + \frac{1}{2^{k−1}} ) = 3 .

Es. 5: Si vari opportunamente la costruzione dell’insieme ternario di Cantor come segue. Sia σ < 1/2 ed alla mappa C di § 1 si sostituisca la mappa C_{σ} che ad un intervallo [a, b] di lunghezza δ, associa i due sottointervalli [a, a + σδ] e [b − σδ, b] (l’insieme ternario di Cantor corrisponde a σ = 1/3). La funzione di Cantor associata risulterà essere Hölderiana di esponente α = log 2/(log σ^{−1}).

Es. 6: ∫_{{1 \atop 0}}f = 1/2.

Es. 7: (i) ∫_{E_{k}}f′_{k} = 1. (ii) Sì , ∫_{{1 \atop 0}}g = 0.