Versione del 15/10/04

3 La curva di Peano

Proposizione 1 (a) Sia f : A ⊂ ℝ^{n} → ℝ^{m} con n < m. Se f è una funzione lipschitziana, allora f(A) è un insieme di misura nulla in ℝ^{m}.

(b) Esiste una funzione φ ∈ C([0, 1], [0, 1]^{2}) tale che φ([0, 1]) = [0, 1]^{2}.

Osservazione 2 (i) Dalla proposizione segue che la funzione φ in (b) non è lipschitziana. (ii) La funzione φ costruita nel corso della dimostrazione che daremo del punto (b) della Proposizione 1, viene chiamata “la curva di Peano”. (iii) Generalizzando la costruzione che verrà presentata nella dimostrazione, per ogni n ≥ 3, si possono costruire funzioni φ ∈ C([0, 1], [0, 1]^{n}) tale che φ([0, 1]) = [0, 1]^{n}. (iv) La funzione φ costruita nella dimostrazione risulta essere Hölderiana di esponente α = 1/2.

Dimostrazione (a): Senza perdita di generalità, possiamo assumere che A sia limitato^{1} e sia R > 0 tale che A ⊂ [−R, R]^{n}. Sia ora B l’immersione di A nell’iperpiano {x_{n+1} = ⋯ = x_{m} = 0}:

B = A × \underbrace{\{0, ..., 0\}}_{(m−n) volte} .

L’insieme B è contenuto nel rettangolo degenere [−R, R]^{n} × {0, ..., 0} e dunque B è un insieme di misura nulla in ℝ^{m}. Definiamo, ora,

x ∈ B → F (x) := f(x_{1}, ..., x_{n}) ∈ ℝ^{m} .

Dalle ipotesi su f segue immediatamente che F è lipschitziana su B e dunque per la Proposizione 9.8 in [Chierchia, 1997] segue che F (B) = f(A) è di misura nulla.

(b): La funzione φ verrà costruita come limite uniforme di funzioni φ_{k} ∈ C([0, 1], [0, 1]^{2}). La costruzione iterativa delle funzioni φ_{k} è basata su opportune numerazioni delle suddivisioni del quadrato [0, 1]^{2} in 4^{k} quadrati di lato 1/2^{k}, ovvero numerazioni della famiglia di quadrati

Q^{(k)} := \{\{\frac{i − 1}{2^{k}} ≤ x ≤ \frac{i}{2^{k}} , \frac{j − 1}{2^{k}} ≤ y ≤ \frac{j}{2^{k}} \} con 1 ≤ i, j ≤ 2^{k}\} .  (1)

1A = ⋃_{i≥1} B_{i}(0) ∩ A e l’unione numerabile di insiemi di misura nulla è di misura nulla.

Lemma 3 (i) Sia Q un quadrato (chiuso) in ℝ^{2} di lato δ; denotiamo con L_{i}, 1 ≤ i ≤ 4, i quattro lati del quadrato; denotiamo, poi, con L_{ij}, 1 ≤ j ≤ 2 i due segmenti di lunghezza δ/2 ottenuti dividendo in due il lato L_{i}. Per ogni i, i′ e j esiste una ed una sola numerazione, {Q_{ℓ}}, dei quattro quadrati (chiusi) di lato δ/2 in cui è possibile suddividere Q in modo tale che si abbia

(q1)  L_{ij} ⊂ Q_{1} ;
(q2)  Q_{ℓ} e Q_{ℓ+1} hanno un lato in comune ;
(q3)  un lato di Q_{4} ⊂ L_{i′} .

(ii) Sia

Q_{1}^{(0)} := [0, 1]^{2} ;  (2)

Q_{1}^{(1)} := {0 ≤ x ≤ 1/2 , 0 ≤ y ≤ 1/2} , Q_{2}^{(1)} := {1/2 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1/2}

Q_{3}^{(1)} := {1/2 ≤ x ≤ 1 , 1/2 ≤ y ≤ 1} , Q_{4}^{(1)} := {0 ≤ x ≤ 1/2 , 1/2 ≤ y ≤ 1} .

(3)

Per ogni k ≥ 1 esiste una ed una sola numerazione, {Q_{j}^{(k)}}, 1 ≤ j ≤ 4^{k}, della famiglia Q^{(k)} che soddisfi le seguenti condizioni

(c1)  Q_{1}^{(k)} ha un lato contenuto in {x = 0} ;
(c2)  Q_{ℓ}^{(k)} e Q_{ℓ+1}^{(k)} hanno un lato in comune ∀ 1 ≤ ℓ < 4^{k} ;
(c3)  ⋃_{1≤ℓ≤4} Q_{4j+ℓ}^{(k)} = Q_{j+1}^{(k−1)} ,  ∀ 0 ≤ j < 4^{k−1};
(c4)  Q_{4^{k}}^{(k)} ha un lato contenuto in {x = 0} .

Dimostrazione (del Lemma 3)

(i) La dimostrazione dell’affermazione (i) è una verifica diretta: vi sono, infatti, 8 modi di scegliere una coppia (i, j) (con 1 ≤ i ≤ 4 e 1 ≤ j ≤ 2) e altri quattro modi di scegliere i′ ∈ 1, 2, 3, 4. Questo significa che ci sono 32 casi da analizzare e si verifica immediatamente che per ognuno di questi casi vi è un’unica numerazione possibile^{2}. Ad esempio, se consideriamo il quadrato di lato unitario Q_{1}^{(0)} in (2); se chiamiamo L_{1},...,L_{4} i quattro lati contenuti, rispettivamente, nelle rette {x = 0}, {y = 0}, {x = 1}, {y = 1}, e se L_{12} è definito da 0 ≤ y ≤ 1/2 allora la numerazione {Q_{j}^{(1)}} in (3) è l’unica numerazione dei quattro quadrati di lati 1/2 in cui si può suddivere Q_{1}^{(0)} soddisfacente (q1) ÷ (q3) con i = 1, j = 2 e i′ = 1 oppure i′ = 4. (ii) Procediamo per induzione su k. Per k = 1, la numerazione in (3) è chiaramente l’unica numerazione di Q^{(1)} che soddisfi (c1) ÷ (c4). Sia, ora, k ≥ 2 ed assumiamo assegnata la numerazione {Q_{j}^{(k−1}} soddisfacente (c1) ÷ (c4) (con k sostituito da k − 1). Definiamo

2In effetti, a meno di rotazioni nel piano, i casi si riducono a 8 (si può , infatti, assumere che il lato L_{ij} sia sempre nel lato “sinistro” del quadrato di partenza); a meno di rotazioni e riflessioni i casi sono solo 4.

L_{0}^{(k−1)} := \{(0, y) : 0 ≤ y ≤ \frac{1}{2^{k−1}} \} ,

L_{j}^{(k−1)} := Q_{j}^{(k−1)} ∩ Q_{j+1}^{(k−1)} , 1 ≤ j < 4^{k−1} ,

L_{4^{k−1}}^{(k−1)} := \{(0, y) : 1 − \frac{1}{2^{k−1}} ≤ y ≤ 1\} ,  (4)

e si noti che, dalle (c1) ÷ (c4) segue che

L_{j}^{(k−1)} ≠ L_{i}^{(k−1)} ,  ∀ j ≠ i .  (5)

Si noti che, per (c3), si deve avere che

Q_{4j}^{(k)} ⊂ Q_{j}^{(k−1)} ,  Q_{4j+1}^{(k)} ⊂ Q_{j+1}^{(k−1)} ,  (6)

mentre, per (c2), Q_{4j}^{(k)} e Q_{4j+1}^{(k)} devono avere un lato in comune. Ora possiamo costruire la numerazione {Q_{j}^{(k)}} ordinando le suddivisioni di Q_{j}^{(k−1)} ricorsivamente su j come segue. Poniamo

L_{0}^{(k)} := \{(0, y) : 0 ≤ y ≤ \frac{1}{2^{k}} \} .  (7)

Per il punto (i), esiste un’unica numerazione dei quattro quadrati di lato 1/2^{k} in cui è possibile suddividere Q_{1}^{(k−1)} in modo tale che

L_{0}^{(k)} ⊂ Q_{1}^{(k)} ;
Q_{ℓ}^{(k)} e Q_{ℓ+1}^{(k)} hanno un lato in comune (1 ≤ ℓ ≤ 3);
un lato di Q_{4}^{(k)} ⊂ L_{1}^{(k−1)} .

Le (c1) ÷ (c3) sono chiaramente soddisfatte per j = 0 e 1 ≤ ℓ ≤ 3. Supponiamo, ora, di aver completato la numerazione dei quattro quadrati in cui si suddivide Q_{j}^{(k−1)} con 1 ≤ j < 4^{k−1}, in modo tale che

un lato di Q_{4j}^{(k)} ⊂ L_{j}^{(k−1)} ,  (8)

e di voler procedere alla numerazione relativa a Q_{j+1}^{(k−1)}. Poniamo

L_{4j}^{(k)} := Q_{4j}^{(k)} ∩ L_{j}^{(k−1)} ,  (9)

che, per (8) è un lato di Q_{4j}^{(k)}. Per il punto (i), esiste un’unica numerazione dei quattro quadrati di lato 1/2^{k} in cui è possibile suddividere Q_{j+1}^{(k−1)} in modo tale che

L_{4j}^{(k)} ⊂ Q_{4j+1}^{(k)} ;
Q_{4j+ℓ}^{(k)} e Q_{4j+ℓ+1}^{(k)} hanno un lato in comune (1 ≤ ℓ ≤ 3);
un lato di Q_{4(j+1)}^{(k)} ⊂ L_{j+1}^{(k−1)} .

Si noti che continuando tale costruzione, per (4), si avrà che

un lato di Q_{4^{k}}^{(k)} ⊂ {x = 0} .  (10)

Riprendiamo la dimostrazione del punto (b) della Proposizione 1. Sia, per ogni k ≥ 0, {Q_{j}^{(k)}}_{1≤j≤4^{k}} la numerazione di Q^{(k)} del punto (ii) del Lemma 3. Per ogni k ≥ 1 è facile costruire una funzione φ_{k} ∈ C([0, 1], [0, 1]^{2}) tale che^{3}

φ_{k}(t) ∈ Q_{j}^{(k)} ,  ∀ t ∈ [\frac{j − 1}{4^{k}}, \frac{j}{4^{k}} ] , ∀ 1 ≤ j ≤ 4^{k} .  (11)

Dimostriamo che φ_{k} converge uniformemente su [0, 1]. Sia t ∈ [0, 1). Esiste un unico 1 ≤ j ≤ 4^{k} tale che

\frac{j − 1}{4^{k}} ≤ t < \frac{j}{4^{k}} ;  (12)

inoltre esiste un unico 1 ≤ i ≤ 4 tale che

\frac{4(j − 1) + (i − 1)}{4^{k+1}} = \frac{j − 1}{4^{k}} + \frac{i − 1}{4^{k+1}} ≤ t < \frac{j − 1}{4^{k}} + \frac{i}{4^{k+1}} = \frac{4(j − 1) + i}{4^{k+1}} . (13)

Da (11) ed (12) segue che φ_{k}(t) ∈ Q_{j}^{(k)} mentre da (11) e da (13) segue che φ_{k+1}(t) ∈ Q_{4(j−1)+i}^{(k+1)} che, per la (c3), è contenuto in Q_{j}^{(k)}. Dunque sia φ_{k}(t) che φ_{k+1}(t) sono in Q_{j}^{(k)} ma questo implica che

|φ_{k+1}(t) − φ_{k}(t)|_{∞} ≤ \frac{1}{2^{k}} .  (14)

φ_{k}(t) := x^{(k,j−1)} + 4^{k} (t − \frac{j − 1}{4^{k}}) (x^{(k,j)} − x^{(k,j−1)}) , ∀ t ∈ [\frac{j − 1}{4^{k}}, \frac{j}{4^{k}} ] .

3 Ad esempio, se x^{(k,j)} denota il punto di mezzo di L_{j}^{(k)} (:= Q_{j}^{(k)} ∩ Q_{j+1}^{(k)} per 1 ≤ j < 4^{k}, L_{0}^{(k)} è come in (7) e L_{4^{k}}^{(k)} := Q_{4^{k}}^{(k)} ∩ {x = 0}), una scelta possibile per φ_{k} è data da:

Poiché tale relazione vale per ogni t ∈ [0, 1) segue che

sup_{t∈[0,1]} |φ_{k+1}(t) − φ_{k}(t)|_{∞} ≤ \frac{1}{2^{k}} ,  ∀ k ≥ 1 .  (15)

Siano, ora, k e n due interi positivi. Da (15) segue che, per ogni t ∈ [0, 1],

|φ_{k+n}(t) − φ_{k}(t)|_{∞} ≤ ∑_{j=k}^{k+n−1} |φ_{j+1}(t) − φ_{j}(t)|_{∞}
≤ ∑_{j=k}^{∞} \frac{1}{2^{j}} = \frac{1}{2^{k−1}} ,  (16)

il che implica che la successione {φ_{k}} converge uniformemente ad una funzione φ ∈ C([0, 1], [0, 1]^{2}). Prendendo il limite per n che tende ad infinito in (16) si ottiene che

|φ_{k}(t) − φ(t)|_{∞} ≤ \frac{1}{2^{k−1}} ,  ∀ t ∈ [0, 1] ,  ∀ k ≥ 1 .  (17)

Resta da dimostrare la suriettività di φ. Fissiamo x̄ ∈ [0, 1]^{2}. Per ogni k ≥ 1 esiste un j = j(k, x̄) tra 1 e 4^{k} tale che x̄ ∈ Q_{j}^{(k)} e, per (11), possiamo scegliere t_{k} ∈ [0, 1] per il quale si abbia φ_{k}(t_{k}) ∈ Q_{j}^{(k)}. Poiché sia φ_{k}(t_{k}) che x̄ appartengono a Q_{j}^{(k)} che è un quadrato di lato 1/2^{k} si ha che

|φ_{k}(t_{k}) − x̄|_{∞} ≤ \frac{1}{2^{k}} ,  ∀ k ≥ 1 .  (18)

Poiché [0, 1] è compatto, esiste una successione k_{j} tale che t_{k_{j}} → t̄ ∈ [0, 1]. Facciamo vedere che φ(t̄) = x̄, il che concluderà la dimostrazione. Sia ε > 0. Poiché φ è continua e poiché 1/2^{k_{j}} → 0, esiste j tale che

|φ(t_{k_{j}}) − φ(t̄)|_{∞} < \frac{ε}{3} ,  \frac{1}{2^{k_{j}−1}} < \frac{ε}{3} .  (19)

Da (19), (17) e (18) segue che

|φ(t̄) − x̄|_{∞} ≤ |φ(t̄) − φ(t_{k_{j}})|_{∞} + |φ(t_{k_{j}}) − φ_{k_{j}}(t_{k_{j}})|_{∞} + |φ_{k_{j}}(t_{k_{j}}) − x̄|_{∞}
< \frac{ε}{3} + \frac{1}{2^{k_{j}−1}} + \frac{1}{2^{k_{j}}} < ε .

L’arbitrarietà di ε implica che φ(t̄) = x̄.

Esercizio 1 Disegnare la traccia della curva φ_{k} definita nella nota 3 per k ≤ 5. Esercizio 2 Dimostrare che la funzione φ costruita nella dimostrazione della Proposizione 1 è unica nel senso che dipende solo dalla numerazione di Q^{(k)} e dalla richiesta (11).

Esercizio 3 Dimostrare che se g ∈ C([0, 1], [0, 1]^{2}) è suriettiva allora non è iniettiva.

Esercizio 4 Dimostrare il punto (iv) dell’Osservazione 2.

Suggerimenti e/o soluzioni: Es. 3: Se g fosse iniettiva, la sua inversa sarebbe continua. Sia Γ una qualunque curva chiusa in [0, 1]^{2} (non banale) e sia γ : t ∈ [a, b] → Γ una parametrizzazione di Γ iniettiva su (a, b). La funzione h : t ∈ [a, b] → [0, 1] data da h = g^{−1} ∘γ sarebbe una funzione continua su [a, b], iniettiva (e quindi strettamente monotona) e tale che h(a) = h(b) e questo è impossibile. Es. 4: Siano t ≠ t′ due punti in [0, 1]. Esiste k ≥ 0 tale che 1/4^{k+1} ≤ |t − t′| < 1/4^{k}. Si noti che

\frac{1}{2^{k}} ≤ \sqrt{2} |t − t′|^{\frac{1}{2}} .

Poiché |t−t′| < 1/4^{k}, t e t′ o appartengono ad un intervallo della forma [\frac{j−1}{4^{k}}, \frac{j}{4^{k}} ] oppure appartengonno a due tali intervalli consecutivi; in entrabi i casi, dalla costruzione fatta sopra, si ha che |φ_{k}(t)−φ_{k}(t′)|_{∞} ≤ \frac{1}{2^{k−1}} . Dunque

|φ(t) − φ(t′)|_{∞} ≤ |φ(t) − φ_{k}(t)|_{∞} + |φ_{k}(t) − φ_{k}(t′)|_{∞} + |φ_{k}(t′) − φ(t′)|_{∞}
≤ \frac{3}{2^{k−1}} = \frac{6}{2^{k}} ≤ 6\sqrt{2} |t − t′|^{\frac{1}{2}} .