Versione del 18/10/04

4 Il lemma di Sard in IR

Proposizione 1 (Lemma di Sard in ℝ) Sia A un aperto di ℝ e sia f ∈ C^{2}(A, ℝ). Sia A_{0} = {x ∈ A : f′(x) = 0}. Allora f(A_{0}) è un insieme di misura nulla.

Osservazione 2 (i) La Proposizione 1 vale sotto la sola ipotesi che f ∈ C^{1}(A). (ii) Il Lemma di Sard si estende al caso generale di funzioni C^{1} da A ⊂ ℝ^{n} in ℝ^{m}; si veda, ad esempio, [J. Milnor, Topology from a differentiable point of view, The University press of Virginia, 1965].

Per dimostrare la Proposizione 1 useremo il seguente risultato topologico.

Lemma 3 Sia A un aperto di ℝ^{n}. Allora esiste una famiglia numerabile di sfere B_{i} tali che \overline{B_{i}} ⊂ A e A = ⋃_{i} B_{i}.

Dimostrazione Se A = ℝ^{n} basta prendere B_{i} = B_{i}(0) (la sfera di centro l’origine e raggio i ∈ ℤ_{+}). Assumiamo ora che A \underline{\underline{⊂}}_{/} ℝ^{n} (cosicché ∂A ≠ ∅) e cominciamo con l’osservare i seguenti fatti (esercizio):

(i) se x ∈ A allora dist (x, ∂A) := inf_{y∈∂A} |x − y| > 0;

(ii) se x ∈ A e se δ := dist (x, ∂A) allora B_{δ}(x) ⊂ A;

(iii) se x ∈ A e se r < dist (x, ∂A) allora \overline{B_{r}(x)} ⊂ A;

(iv) se B_{ρ}(x) ⊂ A e r < ρ allora r < dist (x, ∂A).

Consideriamo ora i seguenti insiemi:

A := ℚ^{n} ∩ A ,  J_{x} := {r ∈ ℚ : 0 < r < dist (x, ∂A)} .  (1)

Poiché A è numerabile, la famiglia di sfere definita come

B := {B_{r}(x) : x ∈ A , r ∈ J_{x}}  (2)

è numerabile. Poiché A ⊂ A, da (iii) e dalla definizione di J_{x} segue che \overline{B} ⊂ A per ogni B ∈ B. Facciamo, ora, vedere che ⋃_{B∈B} B = A. Sia y ∈ A e sia δ := dist (y, ∂A). Poiché A è denso in A, esiste x ∈ A tale |x − y| < δ/4. Sia r un razionale tale che

\frac{δ}{4} < r < \frac{3}{4} δ .

Se z ∈ B_{\frac{3}{4} δ}(x) allora

|z − y| ≤ |z − x| + |x − y| < \frac{3}{4}δ + \frac{δ}{4} = δ ,

e, cioè, z ∈ B_{δ}(y) ⊂ A; dunque B_{\frac{3}{4} δ}(x) ⊂ A e (per (iv)) r < dist (x, ∂A) il che implica che r ∈ J_{x}. D’altra parte,

|y − x| < \frac{δ}{4} < r ,

e, quindi, y ∈ B_{r}(x).

Dimostrazione (della Proposizione 1) Dal lemma e dal fatto che un’unione numerabile di insiemi di misura nulla è di misura nulla segue che basta dimostrare la tesi per un intervallo aperto non vuoto B ⊂ A tale che \overline{B} ⊂ A. Sia, dunque, B = (a, b) un tale intervallo e sia M = max_{[a,b]} |f′′|. Per ogni N ∈ ℤ_{+}, dividiamo l’intervallo B in N intervalli contigui I_{i} di lunghezza (b − a)/N e siano I_{i_{j}}, j ≤ N_{0} ≤ N, tutti gli intervalli tali che I_{i_{j}} ∩ A_{0} ≠ ∅. Dunque

B_{0} := A_{0} ∩ B = ⋃_{j=1}^{N_{0}} I_{i_{j}} ∩ A_{0} ,  I_{i_{j}} ∩ A_{0} ≠ ∅ .  (3)

Per ogni j fissiamo x_{j} ∈ A_{0} ∩ I_{i_{j}}; chiamiamo y_{j} := f(x_{j}) e definiamo intervalli

E_{j} := [y_{j} − \frac{c_{1}}{N^{2}} , y_{j} + \frac{c_{1}}{N^{2}} ] , c_{1} := \frac{M(b − a)^{2}}{2} .

Vogliamo far vedere che

f(B_{0}) ⊂ ⋃_{j=1}^{N_{0}} E_{j} .  (4)

Dalla formula di Taylor al secondo ordine segue che, per ogni x ∈ I_{i_{j}},

|f(x) − f(x_{j})| ≤ c_{2} |x − x_{j}|^{2} ,  c_{2} := \frac{M}{2} .  (5)

Ora, y ∈ f(B_{0}) significa che esiste x ∈ B_{0} tale che f(x) = y e, dunque, (per (3)) esiste un j tale che x ∈ I_{i_{j}} e per (5) si ha che

|f(x) − y_{j}| ≤ c_{2} |x − x_{j}|^{2} ≤ c_{2} \frac{(b − a)^{2}}{N^{2}} = \frac{c_{1}}{N^{2}} ,

e quindi f(x) ∈ E_{j}, il che dimostra (4). Inoltre

mis_{1} ( ⋃_{j=1}^{N_{0}} E_{j}) ≤ ∑_{j=1}^{N_{0}} mis_{1} (E_{j}) ≤ ∑_{j=1}^{N_{0}} \frac{2c_{1}}{N^{2}} = N_{0} \frac{2c_{1}}{N^{2}} ≤ \frac{2c_{1}}{N} .  (6)

Per ogni ε > 0 sia N tale che 2c_{1}/N < ε. L’insieme ⋃_{j} E_{j} è un insieme elementare che ricopre f(B_{0}) ed è di misura inferiore ad ε, il che mostra che l’insieme f(B_{0}) è di misura nulla.