7 Trasformata di Fourier

Definizione 1 Sia f ∈ R_{1}(ℝ). Si definisce la trasformata di Fourier^{1} di f come

f̂(ξ) := ∫_{{∞ \atop −∞}}f(x)e^{−ixξ} \frac{dx}{\sqrt{2π}} .  (7.1)

Proposizione 2 La trasformata di Fourier f̂ di una funzione f ∈ R_{1}(ℝ) gode delle seguenti proprietà:

(i) f̂ è uniformemente continua su ℝ e

sup_{ℝ} |f̂| ≤ ∥f∥_{1} .  (7.2)

(ii) Sia p un intero positivo. Se x → x^{k}f(x) ∈ R_{1}(ℝ) per ogni intero 0 ≤ k ≤ p, allora f̂ ∈ C^{p}(ℝ) e

∂_{ξ}^{k}f̂(ξ) = (−i)^{k}{ \atop (x^{k}f)}(ξ) ,  ∀ k ≤ p ;  (7.3)

inoltre le funzioni ∂_{ξ}^{k}f̂ sono, per 0 ≤ k ≤ p, uniformemente continue su ℝ.

(iii) Sia p un intero positivo. Se f ∈ C^{p}(ℝ) e f^{(k)} ∈ R_{1}(ℝ) per ogni k ≤ p, allora

f̂^{(k)}(ξ) = (iξ)^{k}f̂(ξ) ,  ∀ k ≤ p .  (7.4)

(iv) Sia p un intero positivo. Se f ∈ C^{p}(ℝ) e f^{(k)} ∈ R_{1}(ℝ) per ogni k ≤ p, allora

|f̂(ξ)| ≤ \frac{∥f^{(p)}∥_{1}}{|ξ|^{p}} ,  ∀ ξ ≠ 0 ,  (7.5)

e

|f̂(ξ)| ≤ \frac{M}{1 + |ξ|^{p}} ,  M := 2 max\{∥f∥_{1} , ∥f^{(p)}∥_{1}\} .  (7.6)

Nel corso della dimostrazione useremo il seguente semplice

Lemma 3 Siano g_{j} (j ≥ 1), g e G funzioni in R_{1}(ℝ) tali che

|g_{j}| ≤ G .  (7.7)

Sia {A_{k}} una successione di insiemi, misurabili secondo Peano–Jordan, su cui g_{j},g e G siano Riemann–integrabili e tali che A_{k} ⊂ A_{k+1}, ⋃_{k} A_{k} = ℝ. Se, per ogni k, g_{j} → g uniformemente su A_{k}, allora ∥g_{j} − g∥_{1} → 0.

1Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768 (Auxerre) -1830 (Parigi).

Dimostrazione Sia ε > 0. Dalla definizione di integrale generalizzato segue che esiste k tale che

∫_{A_{k}^{c}}|g| ≤ \frac{ε}{4} ,  ∫_{A_{k}^{c}}|G| ≤ \frac{ε}{4} .  (7.8)

Da tale relazione e da (7.7) segue anche che, per ogni j ≥ 1,

∫_{A_{k}^{c}}|g_{j}| ≤ \frac{ε}{4} .  (7.9)

Poiché g_{j} converge a g uniformemente su A_{k}, esiste j_{0} tale che

|g_{j}(x) − g(x)| < \frac{ε}{2 mis(A_{k})}

per ogni x ∈ A_{k} e per ogni j ≥ j_{0}. Dunque, per ogni j ≥ j_{0},

∥g_{j} − g∥_{1} = ∫_{A_{k}^{c}} |g_{j} − g|dx + ∫_{A_{k}} |g_{j} − g|dx ≤ ∫_{A_{k}^{c}}(|g_{j}| + |g|)dx + \frac{ε}{2} ≤ ε .

Dimostrazione (della Proposizione 2) La (7.2) è ovvia. Dimostriamo l’uniforme continuità di f̂. Sia ε > 0. Poiché f ∈ R_{1}(ℝ), esiste un insieme A misurabile secondo Peano-Jordan, su cui f è Riemann integrabile e tale che

∫_{A^{c}}|f| < \frac{ε}{4} .

Sia δ_{0} tale che

|e^{it} − 1| < \frac{ε}{2(1 + ∥f∥_{1})} ,  ∀ |t| < δ_{0} ;  (7.10)

sia M > 0 tale che A ⊂ [−M, M] e sia δ := δ_{0}/M. Allora per ogni ξ ∈ ℝ e per ogni h ∈ ℝ tale che |h| < δ si ha che

|f̂(ξ + h) − f̂(ξ)| = |∫_{ℝ}f(x)e^{−ixξ}(e^{−ixh} − 1)dx|
≤ ∫_{ℝ}|f(x)| |e^{−ixh} − 1|dx
= ∫_{A^{c}}|f(x)| |e^{−ixh} − 1|dx + ∫_{A}|f(x)| |e^{−ixh} − 1|dx
≤ 2∫_{A^{c}}|f(x)|dx + ∫_{A}|f(x)| |e^{−ixh} − 1|dx
≤ \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2(1 + ∥f∥_{1})}∫_{A}|f(x)|dx
≤ \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2(1 + ∥f∥_{1})}∥f∥_{1} ≤ ε ,

avendo usato il fatto che se |x| ≤ M allora si ha che | − ixh| < δ_{0} il che permette l’uso della (7.10).

(ii) Dimostriamo dapprima la (7.3) per p = 1. Sia h_{j} ≠ 0 una qualunque successione convergente a 0 e sia

g_{j}(x) := f(x)e^{−ixξ} \frac{e^{−ixh_{j}} − 1}{h_{j}} , g(x) := (−i)xf(x)e^{−ixξ} .

Osserviamo, ora, che: \frac{e^{−ixh_{j}} −1}{h_{j}} converge a (−ix) uniformemente su^{2} [−a, a] per ogni a > 0; che^{3}

|\frac{e^{−ixh_{j}} − 1}{h_{j}} | ≤ |x| ;

che |g_{j}|, |g| ≤ G(x) := |x||f(x)| ∈ R_{1}(ℝ). Sia ora A_{k} una succesione di insiemi misurabili secondo Peano-Jordan su cui xf(x) sia Riemann integrabile e tali che sup_{k} ∫_{A_{k}}|xf| < ∞. Poiché gli A_{k} sono limitati, dalle osservazioni fatte segue che

|g_{j}(x) − g(x)| ≤ ( sup_{A_{k}} |xf|) |\frac{e^{−ixh_{j}} − 1}{h_{j}} + ix|

tende uniformemente a zero su A_{k} e dunque la (7.3) per p = 1 segue dal lemma. Il caso con p arbitrario segue per induzione: supponiamo che x^{p}f ∈ R_{1}(ℝ) e che la (7.3) sia vera per p − 1. Allora poiché x(x^{p−1}f) ∈ R_{1}(ℝ), usando la (7.3) con k = 1, si ha che

∂_{ξ}{ \atop (x^{p−1}f)}(ξ) = −i{ \atop (x^{p}f)}(ξ)

che, insieme alla (7.3) con k = p − 1, implica la (7.3) anche con k = p. L’uniforme continuità di ∂_{ξ}^{k}f̂ segue, ora, dalla (7.3) e dal punto (i). (iii) Sia p = 1 e assumiamo, dapprima, che f(x) → 0 quando |x| → ∞. Allora,

∫_{ℝ}f′(x)e^{−ixξ} \frac{dx}{\sqrt{2π}} = lim_{R→∞} ∫_{{R \atop −R}}f′(x)e^{−ixξ} \frac{dx}{\sqrt{2π}}

= lim_{R→∞} [\frac{f(x)e^{−ixξ}}{\sqrt{2π}} ]_{−R}^{R} + iξ lim_{R→∞} ∫_{{R \atop −R}}fe^{−ixξ} \frac{dx}{\sqrt{2π}}

= iξf̂(ξ) .

In generale da f ∈ R_{1}(ℝ) non segue che |f(x)| → 0 per |x| → ∞ ma è sempre possibile trovare due successioni R_{j} → ∞ e R′_{j} → −∞ tali che f(R_{j}) e f(R′_{j}) tendano a 0 per^{4}

3 Per ogni 0 ≠ t ∈ ℝ, |\frac{e^{it}−1}{t} | ≤ 1. Infatti |e^{it} − 1| = |∫_{{t \atop 0}} \frac{e^{is}}{i} ds| ≤ ∫_{{|t| \atop 0}}|e^{is}/i|ds = |t|.

2Dato ε > 0, sia δ tale che |\frac{e^{z}−1}{z} −1| < ε/a per ogni z ∈ ℂ con 0 < |z| < δ e sia j_{0} tale che |h_{j}| < δ/a, ∀ j ≥ j_{0}. Allora, ∀ 0 < |x| ≤ a, si ha che |\frac{e^{−ixh_{j}} −1}{h_{j}} + ix| = |x| |\frac{e^{−ixh_{j}} −1}{−ixh_{j}} − 1| ≤ aε/a.

4Ad esempio, ∑_{k=1}^{∞} ∫_{{k \atop k−1}}|f| = ∫_{{∞ \atop 0}}|f| < ∞ e dunque per ogni j ≥ 1 esiste k = k_{j} tale che ∫_{{k_{j} \atop k_{j}−1}}|f| < 1/j.

Da questo segue che esiste R_{j} ∈ [k_{j} − 1, k_{j}] tale che |f(R_{j})| < 1/j.

j → ∞: questo è sufficiente per ripetere l’argomento dato. Il caso con p arbitrario si ottiene per iterazione. La (7.5) segue immediatamente da (7.4) insieme a (7.2). Per la (7.6) si usi la (7.2) nell’intervallo |ξ| ≤ 1 e la (7.5) per |ξ| ≥ 1.

Osservazione 4 Chiaramente se^{5} f ∈ C_{0}^{p}(ℝ) allora f^{(k)} ∈ C_{0}(ℝ) ⊂ R_{1}(ℝ) per ogni k ≤ p e dunque, per tali f vale la (7.6). In particolare se f ∈ C_{0}^{∞}(ℝ) la sua trasformata di Fourier decade più rapidamente di qualunque potenza.

Il prossimo risultato spiega come ricostruire la funzione f a partire dalla sua trasformata di Fourier.

Proposizione 5 (Teorema di inversione per funzioni C_{0}^{2}) Sia f ∈ C_{0}^{2}(ℝ), allora

f(x) = ∫_{{∞ \atop −∞}}f̂(ξ)e^{ixξ} \frac{dξ}{\sqrt{2π}} ,  ∀ x ∈ ℝ .  (7.11)

Vale inoltre la seguente identità di Parseval^{6}:

∫_{{∞ \atop −∞}}|f̂(ξ)|^{2}dξ = ∫_{{∞ \atop −∞}}|f(x)|^{2}dx .  (7.12)

La dimostrazione, oltre che sulle proprietà della trasformata di Fourier è basata sulle approssimazioni discrete dell’integrale di Riemann su ℝ; il seguente risultato sarà sufficiente per i nostri scopi.

Lemma 6 Sia φ ∈ C(ℝ) tale che esistano due costanti M > 0 e α > 1 tali che

|φ(x)| ≤ \frac{M}{1 + |x|^{α}} ,  ∀ x ∈ ℝ .  (7.13)

Allora φ ∈ R_{1}(ℝ) e

lim_{{δ→0 \atop δ>0}} δ ∑_{n∈ℤ} φ(nδ) = ∫_{{∞ \atop −∞}}φ(x)dx .  (7.14)

Dimostrazione Da (7.13) segue immediatamente che φ ∈ R_{1}(ℝ). Dimostriamo, ora, che dalle ipotesi segue che per ogni ε > 0 esiste R > 2 tale che^{7}

∫_{{|x|≥R−1}}|φ(x)| dx < ε ;  δ ∑_{|n|≥[R/δ]} |φ(δn)| < ε , ∀ 0 < δ < 1 .  (7.15)

5 Si ricorda che, per un aperto E ⊂ ℝ^{n}, C_{0}^{p}(E) denota la classe delle funzioni C^{p} con supporto compatto contenuto in E.

6Marc-Antoine Parseval des Chênes, 1755 (Rosières-aux-Saline) -1836 (Parigi).

7 Come al solito [x] denota il più grande intero m ≤ x.

Infatti, dalla (7.13) segue che

∫_{\{|x|≥R−1\}}|φ(x)| dx ≤ 2M ∫_{{∞ \atop R−1}} \frac{1}{x^{α}} dx = \frac{2M}{α − 1} \frac{1}{(R − 1)^{α−1}} ,

che implica la prima delle (7.15) con R ≥ R_{0}(ε) > 1. Analogamente, per ogni δ ∈ (0, 1) e per ogni R > 2 si ha che

δ ∑_{|n|≥[R/δ]} |φ(δn)| ≤ δM ∑_{|n|≥[R/δ]} \frac{1}{(|n|δ)^{α}} = \frac{2M}{δ^{α−1}} ∑_{j≥[R/δ]} \frac{1}{j^{α}}
≤ \frac{2M}{δ^{α−1}} ∫_{{∞ \atop [R/δ]−1}} \frac{dx}{x^{α}} = 2M∫_{{∞ \atop δ[R/δ]−δ}} \frac{dt}{t^{α}}
≤ 2M ∫_{{∞ \atop R−2}} \frac{dt}{t^{α}} = \frac{2M}{α − 1} \frac{1}{(R − 2)^{α−1}} ,

da cui segue la seconda delle (7.15) per R sufficientemente grande; nell’ultima disuguaglianza abbiamo usato il fatto che δ[R/δ] − δ ≥ R − 2δ ≥ R − 2. Sia ora ε > 0 e sia R tale che

∫_{\{|x|>R−1\}} |φ(x)| dx < \frac{ε}{3} ,  δ ∑_{|n|≥[R/δ]} |φ(δn)| < \frac{ε}{3} .  (7.16)

Sia ora 0 < δ_{0} < 1 tale che

|φ(x) − φ(y)| < \frac{ε}{6R} ,  ∀ x, y ∈ [−R, R] , |x − y| < δ_{0} .  (7.17)

Per ogni 0 < δ < δ_{0} poniamo

N_{δ} := [R/δ] ,  R_{δ} := δN_{δ} ,  (7.18)

cosicché

\frac{R}{δ} − 1 < N_{δ} ≤ \frac{R}{δ} ,  R − δ < R_{δ} ≤ R .  (7.19)

Quindi,

|∫_{{∞ \atop −∞}}φ(x)dx − δ ∑_{n∈ℤ} φ(δn)|

≤ |∫_{{R_{δ} \atop −R_{δ}}}φ(x)dx − δ ∑_{n=−N_{δ}}^{N_{δ}−1} φ(δn)| + ∫_{\{|x|≥R_{δ}\}}|φ(x)|dx + δ ∑_{|n|≥N_{δ}} |φ(δn)|

= | ∑_{n=−N_{δ}}^{N_{δ}−1} ∫_{{δn+δ \atop δn}}(φ(x) − φ(δn))dx| + ∫_{\{|x|≥R_{δ}\}}|φ(x)|dx + δ ∑_{|n|≥N_{δ}} |φ(δn)|

≤ ∑_{n=−N_{δ}}^{N_{δ}−1} ∫_{{δn+δ \atop δn}}|φ(x) − φ(δn)|dx + ∫_{\{|x|≥R−1\}}|φ(x)|dx + δ ∑_{|n|≥N_{δ}} |φ(δn)|

≤ 2N_{δ} δ \frac{ε}{6R} + \frac{2}{3}ε = R_{δ} \frac{ε}{3R} + \frac{2}{3}ε ≤ ε .

Dimostrazione (della Proposizione 5) Sia T_{0} > 0 tale che supp f ⊂ [−T_{0}/2, T_{0}/2] e, per T ≥ T_{0}, sia f_{T} la funzione periodica di periodo T che coincide con f in [−T/2, T/2]. Allora f_{T} ∈ C^{2}(ℝ) e dai risultati sulle serie di Fourier^{8} segue che, per ogni |x| ≤ T/2,

f(x) = f_{T} (x) = ∑_{n∈ℤ} f̂_{T,n}e^{i \frac{2π}{T} nx} ,  (|x| ≤ T/2) ,  (7.20)

dove la serie converge totalmente e

f̂_{T,n} := \frac{1}{T} ∫− \frac{T}{2}^{\frac{T}{2}} f(x)e^{−i \frac{2π}{T} nx} dx
= \frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{2π}{T} ∫_{{∞ \atop −∞}}f(x)e^{−i \frac{2π}{T} nx} \frac{dx}{\sqrt{2π}}
:= \frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{2π}{T} f̂(\frac{2π}{T} n) .  (7.21)

Dunque, per T ≥ 2|x|,

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∑_{n∈ℤ} \frac{2π}{T} f̂(\frac{2π}{T} n) e^{i \frac{2π}{T} nx} .

Ma dal punto (iv) della Proposizione 2 segue che

|f̂(ξ)| ≤ \frac{M}{1 + |ξ|^{2}} ,

per qualche M > 0 e quindi la (7.11) segue dal Lemma 6 applicato alla funzione

φ(ξ) := f̂(ξ) exp(ixξ)

(e con δ = 2π/T). Analogamente (e usando le stesse notazioni), dalla formula di Parseval per serie di Fourier e dalla (7.21) segue che

\frac{1}{T} ∫_{{T/2 \atop −T/2}}|f_{T} |^{2}dx = ∑_{n∈ℤ} |f̂_{T,n}|^{2} = \frac{2π}{T^{2}} ∑_{n∈ℤ} |f̂(\frac{2π}{T} n)|^{2} .

Moltiplicando per T tale relazione e mandando T → ∞ si ottiene, per il^{9} Lemma 6, la relazione (7.12).

La Proposizione 5 si generalizza in vari modi; ad esempio vale la seguente

di Fourier è ∑_{n∈ℤ} f̂_{n}e^{i \frac{2π}{T} nx}.

8Per una funzione periodica di periodo T (ed integrabile) f̂_{n} = \frac{1}{T} ∫_{{T/2 \atop −T/2}}f(x)e^{−i \frac{2π}{T} nx}dx e la sua serie

9Si ricordi l’osservazione 4.

Proposizione 7 Sia f ∈ C^{2}(ℝ) tale che f^{(k)} ∈ R_{1}(ℝ) per k = 0, 1, 2. Allora vale la formula (7.11). Se, inoltre, f ∈ R_{2}(ℝ), allora vale anche l’identità di Parseval (7.12).

Dimostrazione L’idea della dimostrazione è basata sull’approssimare f con funzioni C^{2} a supporto compatto. Sia φ ∈ C^{∞} una funzione monotona non crescente tale che:

φ(x) := \{ \begin{matrix}1 , & se x ≤ 0 , \\ 0 , & se x ≥ 1 . \end{matrix}  (7.22)

A partire da φ, per R > 0, costruiamo una funzione ψ_{R} pari, di classe C^{∞}, con supporto in [−R − 1, R + 1] e che valga 1 per |x| ≤ R, ponendo:

ψ_{R}(x) := \{ \begin{matrix}φ(x − R) , & se x ≥ 0 , \\ ψ_{R}(−x) , & se x < 0 . \end{matrix}  (7.23)

Poniamo f_{R} := fψ_{R}. Chiaramente f_{R} ∈ C_{0}^{2} e quindi vale la (7.11) con f_{R} al posto di f. Poiché f_{R} coincide con f se |x| ≤ R, per ogni R > 0 e per ogni |x| ≤ R, si ha

f(x) = ∫_{{∞ \atop −∞}}f̂_{R}(ξ)e^{ixξ} \frac{dξ}{\sqrt{2π}} ,  |x| ≤ R .  (7.24)

Per prendere il limite per R → ∞ in tal relazione ed ottenere la (7.11), useremo il Lemma 3. Dalle ipotesi su f e dalla Proposizione 2, (7.6), segue che

|f̂(ξ)| ≤ \frac{M_{1}}{1 + |ξ|^{2}} ,  M_{1} := 2 max\{∥f∥_{1} , ∥f^{(2)}∥_{1}\} .  (7.25)

Osserviamo che, se

c := max{1 , sup_{[0,1]} |φ′| , sup_{[0,1]} |φ′′| } ,  (7.26)

allora

max{ 1 , sup_{ℝ} |ψ′_{R}| , sup_{ℝ} |ψ′′_{R}| } ≤ c .  (7.27)

Dunque, essendo f′′_{R} := (fψ_{R})′′ = f′′ψ_{R} + 2f′ψ′_{R} + fψ′′_{R}, si ha che

∥f′′_{R}∥_{1} ≤ ∥f′′∥_{1} + 2∥f′ψ′_{R}∥_{1} + ∥fψ′′_{R}∥_{1} ≤ c(∥f∥_{1} + ∥f′∥_{1} + ∥f′′∥_{1}) .  (7.28)

Quindi, poiché ∥f_{R}∥_{1} ≤ ∥f∥_{1}, per la (7.6), si ha che

|f̂_{R}(ξ)| ≤ \frac{M_{2}}{1 + |ξ|^{2}} ,  M_{2} := 2c(∥f∥_{1} + ∥f′∥_{1} + ∥f′′∥_{1}) .  (7.29)

Inoltre, per ogni x ∈ ℝ, f̂_{R}(ξ) exp(ixξ) → f̂(ξ) exp(ixξ) uniformemente per ξ ∈ ℝ:

|f̂_{R}(ξ) − f̂(ξ)| := |∫_{{∞ \atop −∞}}f(x)(ψ_{R}(x) − 1) e^{−ixξ} \frac{dx}{\sqrt{2π}} |
≤ ∫_{{∞ \atop −∞}}|f(x)| |ψ_{R}(x) − 1| \frac{dx}{\sqrt{2π}}
≤ ∫_{\{|x|≥R\}}|f(x)| \frac{dx}{\sqrt{2π}}  (7.30)

e quest’ultimo integrale tende a 0 quando R → ∞ essendo f ∈ R_{1}(ℝ). Ora, se R_{j} è una qualunque successione tendente a +∞, e se

g_{j}(ξ) := f̂_{R_{j}}(ξ) exp(ixξ) , g(ξ) := f̂(ξ) exp(ixξ) , G(ξ) := M_{2}/(1 + |ξ|^{2}) ,

la (7.11) segue dal Lemma 3. Ora, assumiamo anche che f ∈ R_{2}(ℝ). Dalla (7.12) per funzioni C_{0}^{2} segue che

∫_{{∞ \atop −∞}}|f̂_{R}(ξ)|^{2}dξ = ∫_{{∞ \atop −∞}}|f_{R}(x)|^{2}dx .  (7.31)

Poiché

∫_{{R \atop −R}}|f|^{2} ≤ ∫_{{∞ \atop −∞}}|f_{R}|^{2} ≤ ∫_{{∞ \atop −∞}}|f|^{2} ,

e poiché f ∈ R_{2}(ℝ), si ha che

lim_{R→∞} ∫_{{∞ \atop −∞}}|f_{R}|^{2} = ∫_{{∞ \atop −∞}}|f|^{2} .  (7.32)

Poiché^{10}

||f̂_{R}(ξ)|^{2} − |f̂(ξ)|^{2}| ≤ |f̂_{R}(ξ) − f̂(ξ)| |f̂_{R}(ξ) + f̂(ξ)| ,

da (7.30) e dalla limitatezza di f̂ e f̂_{R} (vedi (7.25) e (7.29)) segue che |f̂_{R}(ξ)|^{2} converge, per R → ∞, a |f̂(ξ)|^{2} uniformemente su ℝ. Queste osservazioni permettono di prendere il limite per R → ∞ in (7.31) ed ottenere, per il Lemma 3, la (7.12).

Concludiamo questa breve discussione sulla trasformata di Fourier con il “Lemma di Riemann-Lebesgue”:

Proposizione 8 Sia f ∈ R_{1}(ℝ). Allora lim_{|ξ|→∞} f̂(ξ) = 0.

Dimostrazione Sia ε > 0. Poiché f ∈ R_{1}(ℝ) esiste un aperto A ⊂ ℝ misurabile secondo Peano-Jordan, su cui f è Riemann integrabile e

∫_{A^{c}} |f| ≤ \frac{ε}{3} .  (7.33)

Inoltre^{11} esiste ψ ∈ C_{0}^{∞}(A) tale che

∫_{A}|f − ψ|\frac{dx}{\sqrt{2π}} < \frac{ε}{3} .  (7.34)

ψ ∈ C_{0}^{∞}(A) tale che ∫_{A}|g − ψ| < ε.

10Si ricorda che per ogni coppia di numeri complessi z e w si ha che ||z|^{2} − |w|^{2}| ≤ |z − w| |z + w|.

11Si ricorda che se g ∈ R_{1}(A), A misurabile secondo Peano-Jordan, per ogni ε > 0 esiste una funzione

Sia, ora, M > 0 tale che |ψ̂(ξ)| ≤ ε/3 per ogni |ξ| ≥ M (tale M esiste per l’osservazione 4). Allora per |ξ| ≥ M si ha che^{12}

|f̂(ξ)| = |∫_{ℝ}f(x)e^{−ixξ}| ≤ |∫_{A}f(x)e^{−ixξ}| + ∫_{A^{c}}|f|
≤ \frac{ε}{3} + |∫_{A}f(x)e^{−ixξ}|
≤ \frac{ε}{3} + ∫_{A}|f − ψ| + |∫_{A}ψe^{−ixξ}|
= \frac{ε}{3} + ∫_{A}|f − ψ| + |ψ̂(ξ)|
≤ \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} = ε.

12I seguenti integrali si intendono tutti divisi per \sqrt{2π}.