Analisi Matematica 1
(canale dam-k)

Docente: Prof. Pierpaolo Esposito
Esercitatore: Dott. Fabio Felici



Avvisi
Testi di riferimento
Esoneri e compiti d'esame
I esonero, mercoledì 21/12/2016, ore 9-11. Argomenti
Testo con soluzioni e risultati

II esonero/I appello, lunedì 30/01/2017, ore 14-18. Argomenti
Testo con soluzioni e risultati

II appello, giovedì 15/06/2017. Testo con soluzioni e risultati

III appello, martedì 04/07/2017. Testo con soluzioni e risultati

Diario delle lezioni
Lezione 1 (3/10/2016): Richiami sulla costruzione dei numeri interi Z e razionali Q a partire dai numeri naturali N; assenza di radici quadrate in Q; massimo, maggiorante ed estremo superiore di un insieme.
Lezione 2 (4/10/2016): Costruzione assiomatica dei numeri reali R ed assioma dell'estremo superiore; proprietà di Archimede; densità di Q in R;
costruzione dei numeri naturali N come il più piccolo insieme induttivo, principio di induzione ed esempi.
Lezione 3 (5/10/2016): Formula del binomio di Newton, triangolo di Tartaglia e coefficienti binomiali; cenni di calcolo combinatorio (permutazioni, combinazioni semplici di n oggetti di classe k).
Lezione 4 (6/10/2016): Esercizi su principio d'induzione, disuguaglianze con moduli e radicali.
Lezione 5 (10/10/2016): Caratterizzazione dell'estremo superiore, esempi; costruzione in R della radice quadrata e della radice n-esima; costruzione delle potenze con esponente reale e proprietà.
Lezione 6 (11/10/2016): Costruzione del logaritmo e proprietà; disuguaglianza di Bernoulli e legame con la radice n-esima; insiemi aperti e chiusi in R; punti interni, esterni e di frontiera.
Lezione 7 (12/10/2016): Punti di accumulazione e punti isolati; caratterizzazione degli insiemi aperti/chiusi; chiusura di un insieme; esempi; Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Lezione 8 (13/10/2016): Numeri complessi, coniugato e modulo; rappresentazione polare; prodotto in rappresentazione polare.
Lezione 9 (17/10/2016): Radici n-esime dell'unità; esercizi.
Lezione 10 (18/10/2016): Funzioni, dominio e co-dominio; immagine e pre-immagine; iniettività, suriettività e funzione inversa; definizione di arcsin e arccos.
Lezione 11 (19/10/2016): Valore assoluto, proprietà; continuità di seno e coseno in 0 e della radice n-esima in 1; limite notevole del seno e del coseno.
Lezione 12 (20/10/2016): Esercizi su estremi superiori e topologia. Testo 1  e  testo 2
Lezione 13 (24/10/2016): Definizione di parte intera e frazionaria; continuità della funzione esponenziale; il logaritmo come funzione inversa dell'esponenziale.
Lezione 14 (25/10/2016): Intorni dei punti finiti e di +/- infinito; definizione generale di limite con gli intorni.
Lezione 15 (26/10/2016): Limite finito per xx_0; proprietà dei limiti (permanenza del segno, confronto, operazioni con i limiti); discussione della definizione negli altri casi e validità delle operazioni con i limiti; forme indeterminate.
Lezione 16 (27/10/2016): Limite destro/sinistro e relazione con il limite completo; esercizi sui limiti; limiti di funzioni monotone.
Lezione 17 (02/11/2016): Limite di funzioni composte; successioni e definizione di limite; proprietà dei limiti; la progressione geometrica.
Lezione 18 (03/11/2016): Limite della radice n-esima per logaritmi, potenze, esponenziali, fattoriale, n^n; confronti di ordine di infinito tra logaritmi, potenze, esponenziali, fattoriale, n^n.
Lezione 19 (07/11/2016): Il numero di Nepero e.
Lezione 20 (08/11/2016): Teorema ponte; sottosuccessioni; legame tra limiti di una successione e sue sottosuccessioni; limite di (1+1/x)^x all'infinito; limite notevole dell'esponenziale e del logaritmo.
Lezione 21 (09/11/2016): Equivalenza della costruzione dell'esponenziale e del logaritmo tramite estremo superiore e tramite limite di approssimazioni razionali; esercizi sui limiti.
Lezione 22 (10/11/2016): Esercizi su limiti di successione/funzione tramite l'uso di limiti notevoli e confronti d'infinito. Testo 1  e  testo 2
Lezione 23 (14/11/2016): Esercizi su successioni per ricorrenza.
Lezione 24 (15/11/2016): Massimo/minimo limite; caratterizzazione degli insiemi chiusi tramite successioni; insiemi compatti; gli insiemi compatti coincidono con gli insiemi chiusi e limitati.
Lezione 25 (16/11/2016): Esempi su massimo/minimo limite; completezza di R; funzioni continue; continuità delle funzioni elementari.
Lezione 26 (17/11/2016): Tipi di discontinuità e funzioni monotone; teorema della permanenza del segno, degli zeri e dei valori intermedi.
Lezione 27 (21/11/2016): Teorema di Weierstrass; continuità della funzione inversa; funzioni iperboliche; derivabilità; interpretazione geometrica della derivata.
Lezione 28 (22/11/2016): Calcolo della derivata di: potenze, esponenziali, logaritmi, seno, coseno, tangente; regole di derivazione per: somma, prodotto, quoziente, composizione, inversa; calcolo delle derivate di: arco-seno, arco-coseno, arco-tangente.
Lezione 29 (23/11/2016): Teorema di Fermat; Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange; monotonia di funzioni derivabili; funzioni con derivata nulla su un intervallo sono costanti.
Lezione 30 (24/11/2016): Teorema di de L'Hôpital; esempi.
Lezione 31 (28/11/2016): Formula di Taylor, formula di Peano e di Lagrange per il resto.
Lezione 32 (29/11/2016): Somma geometrica; sviluppi di Taylor per: seno, coseno, esponeziale, logaritmo, arco-tangente; cenni agli sviluppi in serie di Taylor.
Lezione 33 (30/11/2016): Applicazione della fomula di Taylor al calcolo di limiti ed allo studio dei massimi/minimi locali con esempi; asintoto verticale, orizzonatale e obliquo; studio di funzione.
Lezione 34 (1/12/2016): Esercizi su massimo/minimo limite e su successioni per ricorrenza. Testo
Lezione 35-36 (5/12/2016-7/12/2016): Esercizi su massimi/minimi e su studio di funzione. Testo
Lezione 37 (12/12/2016): Definizione di integrale di Riemann; interpretazione geometrica; funzioni integrabili e caratterizzazione dell'integrabilità.
Lezione 38 (13/12/2016): Proprietà dell'integrale;  teorema della media integrale.
Lezione 39 (14/12/2016): Esercizi vari in preparazione al I esonero.
Lezione 40 (15/12/2016): Esercizi vari in preparazione al I esonero.
Lezione 41 (19/12/2016): Esercizi su limiti di funzione tramite la formula di Taylor. Testo
Lezione 42 (20/12/2016): Esercizi vari in preparazione al I esonero.
Lezione 43 (9/1/2017): Integrabilità delle funzioni continue; primo Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Lezione 44 (10/1/2017): Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale; integrali indefiniti; formula d'integrazione per parti ed esercizi.
Lezione 45 (11/1/2017): Metodo d'integrazione per funzioni razionali ed esercizi.
Lezione 46 (12/1/2017): Esercizi sull'integrazione. Testo
Lezione 47 (16/1/2017): Formula d'integrazione per sostituzione; sostituzioni speciali (funzioni con seno e coseno, funzioni con radicali in ax+b, funzioni con radicali in ax^2+bx+c) ed esercizi.
Lezione 48 (17/1/2017): Definizione della convergenza per una serie, serie geometrica, condizione necessaria per la convergenza.
Lezione 49 (18/1/2017): Esercizi sulle serie. Testo
Lezione 50 (19/1/2017): Criterio di condensazione di Cauchy; serie armoniche generalizzate;  criterio della radice e del rapporto.
Lezione 51 (23/1/2017): Esercizi sulle serie.
Lezione 52 (24/1/2017): Esercizi su serie contenenti parametri; serie a termini qualsiasi; convergenza assoluta; criterio di Leibniz.
Lezione 53 (25/1/2017): Esercizi su serie; integrali impropri.

Programma sintetico di massima 
Insiemi numerici (N,Z,Q e R), costruzione assiomatica di R, costruzione di N e principio di induzione, i numeri complessi; elementi di topologia in R e teorema di Bolzano-Weierstrass; funzioni reali di variabile reale, limiti di funzione e proprietà, limiti di successione, limiti notevoli, il numero di Nepero; funzioni continue e loro proprietà;  derivata di funzione e proprietà, i teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange, de l'Hopital, formula di Taylor), funzioni convesse/concave; grafico di funzione; integrazione secondo Riemann e proprietà, integrabilità delle funzioni continue, teorema fondamentale del calcolo integrale, integrazione per sostituzione e per parti, regole di integrazione; serie numeriche, convergenza semplice ed assoluta, criteri di convergenza per serie a termini positivi e per serie a termini qualsiasi; sviluppi in serie di Taylor; integrali impropri.

Ricevimento
Lunedì e mercoledì ore 14-15 nel mio studio.