Informazioni generali

L' obiettivo formativo del corso è di acquisire una buona conoscenza dei metodi generali e delle tecniche di base necessarie allo studio di soluzioni classiche e deboli per equazioni alle derivate parziali.

Avvisi

Lezione 2 (21/9/2022) Partizione dell'unità con funzioni infinitamente differenziabili; definizione di integrale su iper-superfici in forma vincolare; dimostrazione del Teorema della divergenza per insiemi regolari; formula per l'integrazione su insiemi radiali
Lezione 3 (23/9/2022) Fz. armoniche soddisfano la proprietà di valor medio; principio del massimo forte per fz. che soddisfano la proprietà di valor medio
Lezione 4 (28/9/2022) Principio del massimo debole per fz. che soddisfano la proprietà di valor medio; unicità per il problema di Poisson; fz. continue che soddisfano la proprietà di valor medio sono lisce ed armoniche; stima per il gradiente di fz. armoniche qualsiasi o positive; teorema di Liouville
Lezione 5 (30/9/2022) Stima per le derivate di fz. armoniche; analiticità delle fz. armoniche; disuguaglianza di Harnack
Lezione 6 (3/10/2022) Fz. armoniche soddisfano l'equazione di Laplace in forma debole e debolissima; teorema di Weil sulla regolarità di soluzioni debolissime dell'equazione di Laplace; laplaciano di funzioni radiali e soluzione fondamentale
Lezione 7 (5/10/2022) Funzione di Green e rappresentazione di Green su domini limitati; equazione distribuzionale per la fz di Green; il caso del semispazio
Lezione 8 (7/10/2022) Trasformata di Kelvin; fz di Green sulla palla; formula di Poisson
Lezione 9 (12/10/2022) Simmetria della fz di Green; disuguaglianza di Harnack su palle; dimostrazione alternativa del teorema di Liouville; singolarità eliminabili
Lezione 10 (14/10/2022) Dimostrazione alternativa della proprietà che fz. continue soddisfacenti la proprietà di valor medio equivalgono a fz armoniche; definizione di subarmonicità per fz continue; il sollevamento armonico preserva la subarmonicità
Lezione 11 (17/10/2022) Principio del massimo forte per fz continue subarmoniche e superarmoniche; armonicità della soluzione di Perron; continuità in punti regolari del bordo
Lezione 12 (19/10/2022) Relazione tra fz di barriera locali e globali; condizione di sfera esterna; equazione di Poisson e regolarità C^1 del potenziale Newtoniano
Lezione 13 (21/10/2022) Regolarità C^2 del potenziale Newtoniano e calcolo del suo operatore laplaciano; risoluzione del problema di Poisson; cenni alla regolarità $C^{2,\alpha}$ interna
Lezione 14 (24/10/2022) Cenni alla regolarità $C^{2,\alpha}$ al bordo; principio del massimo debole per L operatore lineare ellittico del II ordine
Lezione 15 (26/10/2022) Unicità per l'equazione di Poisson associata a L; Lemma di Hopf e principio del massimo forte per L; cenni al metodo di Perron per risolvere l'equazione associata a L

Modulo B
Lezione 16 (28/10/2022)  Introduzione all'approcio variazionale: unicità in forma debole ed esistenza come minimizzazione di un opportuno funzionale di energia; motivazioni per l'introduzione degli spazi di Sobolev; definizione di derivate deboli
Lezione 17 (2/11/2022)  Esempi su derivate deboli; unicità q.o. delle derivate deboli; definizione dello spazio di Sobolev $W^{k,p}$ e corrispondente norma; completezza di $W^{k,p}$

Lezione 18 (4/11/2022)  Proprietà elementari e regola di Leibniz; convoluzione in L^p; regolarità del prodotto di convoluzione per nuclei regolari$$
Lezione 19 (9/11/2022)  Convergenza del prodotto di convoluzione con una successione di mollificatori: caso continuo e caso L^p; densità di C_0^∞(Ω) in L^p(Ω) per 1≤p<∞
Lezione 20 (11/11/2022)  Teorema di Friedrichs; derivabilità debole della convoluzione per fz W^{1,p}; lemma di Urysohn in classe C^∞; limitatezza in L^{p'} della derivata distribuzionale di u equivale all'appartenenza di  u a W^{1,p} per 1<p≤∞
Lezione 21 (16/11/2022)  Continuità in L^p delle traslazioni in W^{1,p} per 1<p≤∞; discussione del caso p=1; proprietà nel caso p=∞
Lezione 22 (18/11/2022)  Derivazione del prodotto in W^{1,p}; derivazione di una composizione in W^{1,p}; formula di cambiamento di variabile in W^{1,p}
Lezione 23 (23/11/2022) Prolungamento di fz W^{1,p} nel caso di bordo piatto; richiami sulla partizione dell'unità
Lezione 24 (25/11/2022) Prolungamento di fz W^{1,p} per aperti con bordo compatto di classe C^1
Lezione 25 (30/11/2022) Densità delle restrizioni in Ω di fz C_0^∞(R^n) in W^{1,p}(Ω) per 1≤p<∞; stime Lipschitz in W^{1,∞}(Ω); Teorema di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg per p=1 in R^n
Lezione 26 (2/12/2022) Teorema di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg per 1<p<n
Lezione 27 (7/12/2022) Immersione di W^{1,n} e Teorema di Morrey per p>n in R^n
Lezione 28 (14/12/2022) Risultati di immersione per  W^{1,p} per Ω aperto di R^n; Teorema di Rellich-Kondrachov 
Lezione 29 (16/12/2022) Definizione di W^{1,p}_0; relazione tra W^{1,p}_0 e dati al bordo nulli; caratterizzazione di W^{1,p}_0; disuguaglianza di Poincaré
Lezione 30 (21/12/2022) Discussione del problema di Dirichlet omogeneo: esistenza e unicità di soluzioni deboli, regolarità della soluzione debole, soluzioni deboli regolari sono soluzioni classiche; cenni ai problemi semi-lineari a crescita sottocritica

Modulo A: