AM410

Informazioni generali

L' obiettivo formativo del corso è di acquisire una buona conoscenza dei metodi generali e delle tecniche di base necessarie allo studio di soluzioni classiche e deboli per equazioni alle derivate parziali.

Il corso è diviso in due moduli. Il modulo A si occupa delle proprietà delle funzioni armoniche (disuguaglianze di valor medio, principio del massimo, disuguaglianza di Harnack, rappresentazione di Green ed integrale di Poisson) fino a discutere risultati di esistenza per l'equazione di Laplace. Il modulo B tratta le proprietà degli spazi di Sobolev con applicazione alla teoria delle soluzioni deboli.

Avvisi

Diario delle lezioni

Modulo A
Lezione 1 (22/2/2024) Introduzione all'equazione di Laplace e interpretazione fisica in alcuni modelli. Enunciato del Teorema della divergenza per insiemi regolari. Definizione dell'elemento di integrazione su superfici k-dimensionali in forma parametrica/grafico
Lezione 2 (23/2/2024) Relazione tra l'elemento di integrazione (n-1)-dimensionale e l'area del parallelogramma generato dalle derivate della parametrizzazione. Partizione dell'unità e definizione di integrale su iper-superfici in forma vincolare
Lezione 3 (26/2/2024) Richiami sul Teorema della divergenza per insiemi normali e dimostrazione su insiemi regolari. Formula di integrazione in coordinate radiali
Lezione 4 (28/2/2024) Fz. armoniche soddisfano la proprietà di valor medio; fz. continue che soddisfano la proprietà di valor medio sono lisce ed armoniche; principio del massimo forte
Lezione 5 (29/2/2024) Principio del massimo debole; unicità per il problema di Poisson; disuguaglianza di Harnack per punti vicini
Lezione 6 (4/3/2024) Disuguaglianza di Harnack in generale; stima per il gradiente di fz. armoniche qualsiasi o positive; teorema di Liouville
Lezione 7 (6/3/2024) Stima per le derivate di fz. armoniche; analiticità delle fz. armoniche; fz. armoniche soddisfano l'equazione di Laplace in forma debolissima
Lezione 8 (8/3/2024) Teorema di Weil sulla regolarità di soluzioni debolissime dell'equazione di Laplace; soluzione fondamentale
Lezione 9 (11/3/2024) Funzione di Green e rappresentazione di Green su domini limitati; equazione distribuzionale per la fz di Green
Lezione 10 (15/3/2024) Calcolo della funzione di Green per il semispazio e per la palla; formula e kernel di Poisson
Lezione 11 (18/3/2024) Risolubilità del problema di Poisson su palle; disuguaglianza di Harnack su palle; dimostrazione alternativa del teorema di Liouville
Lezione 12 (20/3/2024) Singolarità eliminabili per funzioni armoniche; simmetria e positività della fz di Green; dimostrazione alternativa della proprietà che fz. continue soddisfacenti la proprietà di valor medio equivalgono a fz armoniche
Lezione 13 (22/3/2024) Definizione di subarmonicità per fz continue; il sollevamento armonico preserva la subarmonicità; principio del massimo debole e forte per fz continue subarmoniche e superarmoniche; armonicità della soluzione di Perron
Lezione 14 (25/3/2024) Punti regolari di bordo e fz di barriera; continuità in punti regolari del bordo; risoluzione del problema di Poisson; condizione di sfera esterna; equazione di Laplace e potenziale Newtoniano; regolarità C^1 del potenziale Newtoniano
Lezione 15 (27/3/2024) Successioni di fz armoniche sono relativamente compatte in convergenza localmente uniforme; regolarità C^2 del potenziale Newtoniano e calcolo del suo operatore laplaciano
Lezione 16 (3/4/2024) Risoluzione in $C^{2};interna$ del problema di Laplace con f Hölderiana; esistenza della fz di Green su domini generali e rappresentazione della soluzione del problema di Laplace; cenni alla regolarità interna $C^{2, α};interna$ ; cenni alla regolarità $C^{2, α};interna$ su bordo piatto per soluzioni con dato al bordo nullo; equivalenza conforme tra palle e semispazi; risolubilità in $C^{2, α};interna$ del problema di Laplace su palle; definizione di operatore ellittico L del second'ordine; cenni al principio del massimo ed alla teoria di Schauder per L

Modulo B
Lezione 17 (5/4/2024) Definizione e proprietà di regolarità del prodotto di convoluzione; convergenza localmente uniforme del prodotto di convoluzione di fz. continue con successioni di mollificatori
Lezione 18 (8/4/2024) Stima L^p e convergenza in L^p del prodotto di convoluzione di fz. L^p con successioni di mollificatori; densità di C_0^∞(Ω) in L^p(Ω) per 1≤p<∞
Lezione 19 (10/4/2024) Introduzione all'approccio variazionale: minimizzazione di un opportuno funzionale di energia; compattezza debole per successioni in spazi riflessivi; definizione di derivate deboli, degli spazi di Sobolev

e della corrispondente norma; unicità q.o. delle derivate deboli; completezza degli spazi di Sobolev
Lezione 20 (12/4/2024) Derivabilità debole della convoluzione per fz W^{1,p}; lemma di Urysohn in classe C^∞; Teorema di Friedrichs
Lezione 21 (24/4/2024) Derivazione del prodotto in W^{1,p}; derivazione di una composizione in W^{1,p}
Lezione 22 (3/5/2024) Formula di cambiamento di variabile in W^{1,p}
Lezione 23 (6/5/2024) Prolungamento di fz W^{1,p} nel caso di bordo piatto; richiami sulla partizione dell'unità
Lezione 24 (8/5/2024) Prolungamento di fz W^{1,p} per aperti con bordo compatto di classe C^1; densità delle restrizioni in Ω di fz C_0^∞(R^n) in W^{1,p}(Ω) per 1≤p<∞
Lezione 25 (10/5/2024) Teorema di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg per p=1 in R^n

Lezione 26 (22/5/2024) Teorema di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg per 1<p<n; risultati di immersione per W^{1,n}

Lezione 27 (24/5/2024) Teorema di Morrey per p>n in R^n
Lezione 28 (27/5/2024) Definizione di W^{m,p} e risultati di immersione per W^{m,p}(R^n); risultati di immersione per W^{1,p}(Ω) per Ω aperto di R^n; definizione di operatore compatto; Teorema di Rellich-Kondrachov per p>n
Lezione 29 (29/5/2024) Teorema di Rellich-Kondrachov per 1≤p<n; richiami sul Teorema di Riesz-Fréchet-Kolmogorov; continuità in L^p delle traslazioni in W^{1,p} per 1<p≤∞
Lezione 30 (30/5/2024) Definizione di W^{1,p}_0(Ω); funzioni di W^{1,p}_0(Ω), estese a zero, sono in W^{1,p}(R^n); immersioni continue e compatte per W^{1,p}_0(Ω); disuguaglianza di Poincaré; discussione dell'equazione di Poisson: soluzioni classiche sono deboli, esistenza di soluzioni deboli per minimizzazione di un opportuno funzionale di energia
Lezione 31 (31/5/2024) Regolarità della soluzione debole tramite metodo delle traslazioni: caso di R^n, cenni al caso di R^n_+ e di domini di classe C^1; soluzioni deboli regolari sono soluzioni classiche; cenni ai problemi semi-lineari a crescita sottocritica: esistenza tramite minimizzazione del quoziente di Rayleigh

Testi di riferimento

Modulo A: