Informazioni generali
L' obiettivo
formativo del
corso è di acquisire una
buona conoscenza dei metodi generali e delle tecniche di
base necessarie allo studio di soluzioni classiche e deboli
per equazioni alle derivate parziali.
Il corso è diviso in due moduli. Il
modulo A si occupa delle proprietà delle funzioni armoniche (disuguaglianze di valor medio,
principio del massimo, disuguaglianza di Harnack,
rappresentazione di Green ed integrale di Poisson) fino a
discutere risultati di esistenza per l'equazione di Laplace.
Il modulo B tratta le proprietà degli spazi di Sobolev con
applicazione alla teoria delle soluzioni deboli.
Avvisi
Diario delle
lezioni
Modulo A
Lezione
1 (22/2/2024) Introduzione all'equazione di Laplace
e interpretazione fisica in alcuni modelli. Enunciato del
Teorema della divergenza per insiemi regolari. Definizione
dell'elemento di integrazione su superfici k-dimensionali
in forma parametrica/grafico
Lezione 2 (23/2/2024) Relazione tra l'elemento di
integrazione (n-1)-dimensionale e l'area del parallelogramma
generato dalle derivate della parametrizzazione.
Partizione
dell'unità e definizione di integrale su iper-superfici in
forma vincolare
Lezione
3 (26/2/2024) Richiami sul Teorema della divergenza
per insiemi normali e dimostrazione su insiemi regolari.
Formula di integrazione in coordinate radiali
Lezione 4 (28/2/2024) Fz.
armoniche soddisfano la proprietà di valor medio; fz.
continue che soddisfano la proprietà di valor medio sono lisce
ed armoniche; principio
del massimo forte
Lezione 5 (29/2/2024) Principio
del massimo debole;
unicità per il problema di Poisson; disuguaglianza
di Harnack per punti vicini
Lezione 6 (4/3/2024) Disuguaglianza
di Harnack in generale;
stima
per il gradiente di fz. armoniche qualsiasi
o positive; teorema di Liouville
Lezione 7 (6/3/2024) Stima
per le derivate di fz. armoniche; analiticità delle fz.
armoniche;
fz. armoniche soddisfano l'equazione di Laplace in
forma debolissima
Lezione 8 (8/3/2024) Teorema di Weil sulla
regolarità di soluzioni debolissime dell'equazione di Laplace;
soluzione fondamentale
Lezione 9 (11/3/2024) Funzione
di Green e rappresentazione di
Green su domini limitati; equazione distribuzionale per la fz
di Green
Lezione 10 (15/3/2024) Calcolo della funzione di
Green per il
semispazio e per
la palla; formula
e kernel di Poisson
Lezione
11 (18/3/2024) Risolubilità del problema di Poisson su
palle; disuguaglianza di Harnack su
palle; dimostrazione alternativa del teorema
di Liouville
Lezione 12 (20/3/2024) Singolarità
eliminabili per funzioni armoniche; simmetria e
positività della fz di Green; dimostrazione alternativa della
proprietà che fz. continue soddisfacenti la
proprietà di valor medio equivalgono a fz armoniche
Lezione 13 (22/3/2024) Definizione di subarmonicità per fz
continue; il sollevamento armonico preserva la subarmonicità; principio del massimo debole e forte per fz
continue subarmoniche e superarmoniche; armonicità della
soluzione di Perron
Lezione 14 (25/3/2024) Punti
regolari di bordo e fz di barriera; continuità
in punti regolari del bordo; risoluzione
del problema di Poisson; condizione
di sfera esterna; equazione di Laplace e
potenziale Newtoniano; regolarità C^1 del
potenziale Newtoniano
Lezione 15 (27/3/2024) Successioni di fz
armoniche sono relativamente compatte in convergenza
localmente uniforme; regolarità C^2
del potenziale Newtoniano e calcolo del suo operatore
laplaciano
Lezione 16
(3/4/2024) Risoluzione in
del
problema di Laplace con f Hölderiana; esistenza
della fz di Green su domini generali e
rappresentazione della soluzione del problema di
Laplace; cenni
alla regolarità interna
;
cenni
alla regolarità
su bordo piatto per
soluzioni con dato al
bordo nullo;
equivalenza conforme tra palle e semispazi;
risolubilità
in
del problema di Laplace
su palle;
definizione di operatore ellittico L
del second'ordine; cenni al
principio del massimo ed alla teoria
di Schauder per L
Modulo
B
Lezione 17
(5/4/2024) Definizione e
proprietà di regolarità del
prodotto di convoluzione; convergenza localmente uniforme del
prodotto di convoluzione di fz. continue con
successioni di mollificatori
Lezione 18
(8/4/2024) Stima L^p e convergenza in L^p del
prodotto di convoluzione di fz. L^p con
successioni di mollificatori;
densità di C_0^∞(Ω) in L^p(Ω) per 1≤p<∞
Lezione 19
(10/4/2024) Introduzione
all'approccio variazionale: minimizzazione di un opportuno funzionale
di energia; compattezza debole per successioni in spazi riflessivi;
definizione di derivate deboli, degli spazi di Sobolev e della corrispondente norma;
unicità q.o. delle derivate deboli; completezza degli spazi di Sobolev
Lezione 20
(12/4/2024) Derivabilità debole della convoluzione per fz W^{1,p};
lemma di Urysohn in classe C^∞; Teorema di Friedrichs
Testi di riferimento
Modulo A: